淺談函數(shù)思想在數(shù)學高考試題中的應用

●田華欽 (縉云縣第二中學 浙江縉云 321400)

函數(shù)思想是高中數(shù)學的一條主線，函數(shù)與方程思想也是數(shù)學最本質的思想之一.高中數(shù)學中的初等函數(shù)、數(shù)列、不等式、解析幾何等問題都可以轉化為函數(shù)問題求解.

函數(shù)思想就是用變量和函數(shù)來思考問題的方法.函數(shù)與方程有時又可以轉化，函數(shù)思想涉及的知識點多、知識面廣，在概念、應用、理解都方面有一定的要求，應用非常廣泛，是高考考查的重點.

筆者就幾道高考試題淺談函數(shù)思想在解決不等式、函數(shù)零點、解析幾何、參數(shù)的取值范圍等問題中的應用，供參考.

1 運用函數(shù)思想解決不等式問題

函數(shù)與不等式之間有著密不可分的聯(lián)系，在不等式問題中，應重視以函數(shù)為橋梁，根據實際問題建立函數(shù)模型，用函數(shù)思想分析、解決問題.

(1)對于任意實數(shù)x，f'(x)＞m恒成立，求m的最大值;

(2)若方程f(x)=0有且僅有1個實根，求a的取值范圍.

(2009年江西省數(shù)學高考文科試題)

解(1)f'(x)=3x2-9x+6.因為x∈(-∞，+∞)，f'(x)≥m恒成立，所以m只要小于等于f'(x)的最小值即可.又因為

(2)略.

2 運用函數(shù)思想解決函數(shù)零點問題

函數(shù)零點就是方程的解，方程解的個數(shù)轉化成函數(shù)圖像與橫軸交點的個數(shù)，方程在某個區(qū)間上有解的問題經常轉化成求函數(shù)的值域問題.

(1)若曲線y=f(x)上的點P到點Q(0，2)的距離的最小值為，求m的值;

(2)當k(k∈R)如何取值時，函數(shù)y=f(x)-kx存在零點，并求出零點.

(2009年廣東省數(shù)學高考理科試題)

解(1)略.

3 運用函數(shù)與方程思想解決解析幾何問題

解析幾何即用代數(shù)方法研究幾何問題，可把其中的曲線解析式看作方程，通過解方程的手段或對方程的研究使問題得以解決.對于曲線上的動點問題，線段長度、面積大小的最值問題，其在變化過程中會引入一些相互聯(lián)系、相互制約的變量，從而使變量與其中的參數(shù)之間構成函數(shù)關系，轉化成函數(shù)問題解決.

(1)求橢圓C1的方程.

(2)設點 P在拋物線 C2：y=x2+h(h∈R)上，C2在點 P處的切線與C1交于點M，N.當線段AP的中點與MN的中點的橫坐標相等時，求h的最小值.

(2009年浙江省數(shù)學高考理科試題)解 (1)由題意得

圖1

(2)不妨設 M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(t，t2+h)，則拋物線C2在點P處的切線斜率為y'|x=t=2t.直線MN的方程為y=2tx-t2+h，將上式代入橢圓C1的方程，得

因為直線MN與橢圓C1有2個不同的交點，所以

設線段MN中點的橫坐標是x3，則

由題意得x3=x4，即成立，故h的最小值為1.

4 運用函數(shù)思想求參數(shù)(或變量)的范圍

在一個含有多個變量的數(shù)學問題中，需要確定合適的變量和參數(shù)，從而揭示函數(shù)關系，使問題更加明朗化.或者在含有參數(shù)的函數(shù)中，將函數(shù)自變量作為參數(shù)，而參數(shù)作為函數(shù)的自變量，更具有靈活性，從而巧妙地解決有關問題.

設線段PA中點的橫坐標是x4，則f'(-1)=0.

(1)試用含a的代數(shù)式表示b，并求f(x)的單調區(qū)間.

(2)令 a=-1，設函數(shù) f(x)在 x1，x2(x1＜ x2)處取得極值，記點 M(x1，f(x1))，N(x2，f(x2)，P(m，f(m))，x1＜m ＜x2.請仔細觀察曲線 f(x)在點P處的切線與線段MP的位置變化趨勢，并解釋以下問題：

①若對任意的m∈(x1，x2)，線段MP與曲線f(x)均有異于點M，P的公共點，試確定t的最小值，并證明你的結論;

②若存在點Q(n，f(n))，x≤n＜m，使得線段PQ與曲線f(x)有異于點P，Q的公共點，請直接寫出m的取值范圍(不必給出求解過程).

(2009年福建省數(shù)學高考文科試題)

解(1)略.

①直線MP的方程為

線段MP與曲線f(x)有異于點M，P的公共點等價于上述方程在(-1，m)上有根，即函數(shù)

在(-1，m)上有零點.因為函數(shù)g(x)為三次函數(shù)，所以g(x)至多有3個零點，2個極值點.又

所以g(x)在(-1，m)上有零點等價于 g(x)在(-1，m)內恰有1個極大值點和1個極小值點，即

在(1，m)內有2個不相等的實數(shù)根.于是

所以m的取值范圍為(2，3］，故滿足題設條件的t的最小值為2.

②略.

從上述高考試題可以看出：函數(shù)思想的應用相當廣泛.在解題時，要善于對所給的問題仔細觀察、深入分析，挖掘題目中的隱含條件，構造出函數(shù)解析式和妙用函數(shù)的性質去解決問題.在平時的教學中，必須重視函數(shù)思想方法的落實，讓學生更好地掌握這個內容.