溝通2種“和” 由它來搭橋

●黃元華 (深圳市高級中學 廣東深圳 518040)

柯西不等式的一種特殊形式：

即n個非負數的平方平均值不小于它們的算術平均值.

該不等式的二維形式為：

三維形式為：

在以上各式中，左邊出現了幾個非負數的“一次和”，右邊出現了這幾個非負數的“二次和”，因此這些不等式溝通了幾個非負數的“一次和”與“二次和”的聯系.當“二次和”為定值時，“一次和”有最大值;當“一次和”為定值時，“二次和”有最小值.

筆者在教學時，用“一次和”、“二次和”這樣通俗簡練的敘述方式，學生感到新鮮有趣，易于接受，從而激活了課堂，激發了學生的參與熱情.

當題目中出現了“一次和”或“二次和”時，就可以考慮用這些不等式來打通關節，探求思路，尋求解題途徑.下面舉例說明之.

因為二次和為定值，所以一次和有最大值.

評注 此法中把常數1替換為a+b+c，從而使解題過程順暢、明快.

(2005年全國高中數學聯賽第一試試題)

分析要求字母z的范圍，需得出關于z的不等式.因而先想到移項，再利用“一次和”與“二次和”的關系產生不等式.

證明將已知等式分別移項得

評注此法簡便易行，令人賞心悅目.

評注此法簡捷、明快.一般資料書上提供的證法都要用到較復雜的配湊技巧.

綜上所述，巧妙借助“一次和”與“二次和”的關系，的確能解決很多有關不等式證明、求最值等方面的問題.在具體的解題實踐中，題目中不一定出現“一次和”或“二次和”，這就需要我們靈活變通，或等價轉化，或巧妙構造.