三角函數題“正確解法”后的反思

●武瑞雪 (城北中學 江蘇睢寧 221200)

“數學題的解后反思”是指在解決了數學問題之后，不是解完了事，而是對題目條件的再思考、再分析，從中發現不足甚至錯誤，或歸納解題規律.數學家波利亞曾說過：“沒有任何一道題是可以解決得十全十美的，總剩下些工作要做，經過充分地探討，總會有點滴發現，總能改進這個解答，而且在任何情況下，我們總能提高自己對這個解答的理解水平”.這里所說的剩下些工作，就是解題后的反思.本文以三角函數題為例，從以下幾個方面闡述如何進行解題后的反思.

1 反思解法好差

解完一道題目后，通過反思解法，可加深對題目條件的本質的領悟.這有利于培養思維的深刻性，提高解題能力和解題速度.

例1 已知點 A(cos80°，sin80°)，B(cos20°，sin20°)，求點 A，B 間的距離.

解由兩點間的距離公式得{ θ(θ為參數)，知點 A，B都在單位圓上，且∠AOB=80°-20°=60°，結合圓O的圖形易得AB=1.答題時間不足1分(圖形不畫，只需想像).

其原因是學生在平時練習時，過于機械，沒有對解法進行認真選擇，出現了思維定勢.

2 反思解法規律

解題后，反思解法中有無規律可循，可從特殊題目的解法引申出一般題目的解法.

反思 (1)題目中既有正弦，又有正切，常用方法是“切”化“弦”;

3 反思有無多解(一題多解)

很多題目有多種解法.解完一道題目后，應反思其是否還有另解，以求最簡捷的解法，使思維向更高層次發展，培養思維的發散性和靈活性.

其中φ為輔助角.于是

又由|sin(θ+φ)|≤1，得

圖1

4 反思同類題目

解題后，反思與該題同類的習題(即變式題)，進行對比，找出解答此類題目的技巧和方法，從而達到舉一反三、觸類旁通的目的.

反思 已知tanθ的值，解關于sinθ，cosθ的齊次式化簡、求值問題，常常可轉化為關于tanθ的函數式求解.雖然已知式或所求式的表達式不同，但其實質相同，通過這樣的反思訓練，解決此類問題的能力可得到極大提高.

此題得以解決.

5 反思題目結論

當解決一個問題后，常常會出現幾種情況或結論，這對解題者而言，不是解題過程的終結，相反，它為解題者提供了一個進行反思的空間：這些情形或結論中有沒有多余的解?

分析 由函數f(x)是R上的偶函數，得f(-x)=f(x)，即

反思 對ω的無數個值，必須反思其存在的合理性.事實上，

這樣，學生在反思的基礎上，思維不斷得到發展.

6 反思條件與結論的聯系

反思 部分學生看到題目后無從下手.仔細分析該題，已知條件等式中的2個角為2α+β與β，所要求證的等式中的2個角為α+β與α.故應設法將已知等式中的2個角2α+β，β向所要求證的等式中的2個角 α+β，α轉化(即設法將已知與未知掛上鉤)：2α+β=(α+β)+α，β=(α+β)-α，然后以 α+β與 α為基本角，用兩角和與差的正弦公式展開，再向正切轉化即可證得.

總之，在數學解題后，經常進行以上的反思，有利于學生加深對基礎知識和方法的掌握;有利于培養學生思維的深刻性、批判性、創造性、周密性和嚴謹性;有利于提高學生發現問題、分析問題和解決問題的能力;有利于培養學生的創新意識和科學的思維品質.學生應將反思作為一種習慣.不斷地反思，才會不斷地進步，才能提高學習效率.