簡述非線性遞歸數列化歸的常用策略

●沈寶偉 (諸暨中學 浙江諸暨 311800)

求遞推數列的通項是數學競賽和高考數列題最為常見的考查內容之一，通常可以將它化歸為線性遞歸數列求解.本文就一些典型的非線性遞歸數列問題的化歸進行剖析，介紹幾種常用的策略，以期拋磚引玉.

1 因式分解

分析該遞歸數列是非線性齊次遞歸數列，不能直接用特征根方法.注意到遞歸式是齊二次式，考慮通過因式分解將其化為一次齊次式.

解因為

其特征根方程為x2+2x-3=0，解得

2 配方法

分析該遞歸數列是非線性遞歸數列，注意到等式2邊根式的次數關系，可考慮用配方法求解.

解配方得

3 待定系數法

(1993年全國高中數學聯賽試題)

解將原式變形為

“好”的統計與概率的案例能促進理論和實踐的結合，同時案例的開發和收集能為教師提供教學參考和借鑒.從現有文獻看，教學案例有31篇，都以現實情境為背景，并設計統計實踐活動，但是重復性研究較多.其中，有5篇運用信息技術教學的案例，動態地展現了數據處理過程，但是模擬實驗較少.可見，統計與概率案例的有效性在實踐中得到充分體現需要一個漫長的積累和檢驗過程.

說明 形如“an+k=A1an+k-1+A2an+k-2+…+Akan+p(Ai，p都是常數)”的遞歸數列常常采用待定系數法，構造形如“{an+u}”的齊次線性遞歸數列求解.

例4 已知在數列{an}中，a1=a2=1，an+2=3an+1+18an+2n，求 an.

分析該遞歸數列是非線性遞歸數列，注意到等式右邊是含有關于n的指數函數，考慮在等式的2邊待定關于n的指數函數，將其化歸為線性遞歸形式.

說明 形如“an+k=A1an+k-1+A2an+k-2+…+Akan+mn(Ai，m都是常數)”的遞歸數列常常采用待定系數法，構造形如“{an+umn}”的齊次線性遞歸數列求解.

4 換元法

分析該遞歸數列是非線性遞歸數列，注意到等式右邊含有根號，不方便處理，想到可利用變量換元.

5 取對數法

分析該遞歸數列是非線性的分式型且分母比分子復雜，可先平方取倒數，再因式分解、換元，然后取對數化歸為齊次線性遞歸數列.

解原式平方后取倒數得

6 遞推作差

分析該遞歸數列是非齊次非線性的數列，考慮將其轉化為齊次線性遞歸數列.首先要消去常數，可遞推作差消去常數使其化成齊次式，再通過換元使其線性化.

例8 已知數列{an}和{bn}滿足a0=1，b0=1，且

證明：an是完全平方數.

(2000年全國高中數學聯賽試題)

分析這是一個二元非齊次線性遞歸數列，可先將二元降為一元，再遞推作差將非齊次線性遞歸數列化為齊次線性遞歸數列.

證明由式(1)得

用n+1代換式(3)中的n，得

式(4)-式(3)，得

由特征根方程x3-15x2+15x-1=0以及a0=1，a1=4，a2=49，可解得

因此an是完全平方數.

說明 形如“an+k=A1an+k-1+A2an+k-2+…+Akan+p(Ai，p都是常數)”的遞歸數列常常采用遞歸作差法求解.

7 不動點法

(2005年希望杯數學競賽培訓題)

［1］ 雷波.用不動點法解函數、數列等相關問題［J］.中等數學，2008(10)：12-14.

［2］ 唐立華.長沙一中奧賽標準講義［M］.北京：龍門書局出版社，2004.