應用題的類型和求解策略

●王元真 (德清縣第一中學 浙江湖州 313200)

1 走進應用世界

1.1 常見的一些應用問題

(1)優化問題：實際生活中的“優選”、“控制”等問題常需建立“不等式模型”和“線性規劃”問題解決.

(2)預測問題：經濟計劃、市場預測這類問題通常設計成“數列模型”來解決.

(3)最(極)值問題：工農業生產、建設及實際生活中的極限問題常設計成“函數模型”，從而轉化為求函數的最值.

(4)等量關系問題：建立“方程模型”解決.

(5)測量問題：可設計成“圖形模型”利用幾何知識解決.

1.2 求解應用題的一般思路

可表示如下：

1.3 求解應用題的一般程序

(1)讀：閱讀理解文字表達的題意，分清條件和結論，理順數量關系，這一關是基礎.

(2)建：將文字語言轉化為數學語言，利用數學知識，建立相應的數學模型熟悉基本數學模型，正確進行建模，是關鍵的一關.

(3)解：求解數學模型，得到數學結論，要充分注意數學模型中元素的實際意義，更要注意巧思妙作，優化過程.

(4)答：將數學結論還原為實際問題的結果.

1.4 解決應用題需過的三關

(1)閱讀理解關：一般數學應用題的文字閱讀量都比較大，要通過閱讀審題，找出關鍵詞、句，理解其意義.

(2)建模轉化關：即建立實際問題的數學模型，將其轉化為數學問題.

(3)數理求解關：運用恰當的數學方法去解決已建立的數學模型.

2 常見應用模型

題型1 函數模型

例1 某廠生產某種零件，每個零件的成本為40元，出廠單價定為60元.該廠為鼓勵銷售商訂購，決定當一次訂購量超過100個時，每多訂購一個，訂購的全部零件的出廠單價就降低0.02元，但實際出廠單價不能低于51元.

(1)當一次訂購量為多少個時，零件的實際出廠單價恰降為51元?

(2)設一次訂購量為x個，零件的實際出廠單價為P元，寫出函數P=f(x)的表達式;

(3)當銷售商一次訂購500個零件時，該廠獲得的利潤是多少元?如果訂購1 000個，利潤又是多少元(工廠售出一個零件的利潤=實際出廠單價-成本)?

考點分析 本題主要考查函數的基本知識和分段函數的概念，考查應用數學知識分析問題和解決問題的能力.

解題思路 (1)設每個零件的實際出廠價恰好降為51元時，一次訂購量為x0個，則

因此當一次訂購量為550個時，每個零件的實際出廠價恰好降為51元.

(3)設銷售商的一次訂購量為x個時，工廠獲得的利潤為L元，則

當x=500時，L=6 000;當 x=1 000時，L=11 000.

因此，當銷售商一次訂購500個零件時，該廠獲得的利潤是6 000元;若訂購1 000個，則利潤是11 000元.

點評與拓展 根據題意，熟練地建立函數模型，運用函數性質、不等式等知識處理所得的函數模型.

題型2 不等式模型

例2 已知甲、乙、丙3種食物的維生素A，B的含量及成本如表1.若用甲、乙、丙3種食物各x kg，y kg，z kg配成100 kg混合食物，并使混合食物內至少含有56 000單位維生素A和63 000單位維生素B.

表1 食物的維生素A，B含量及成本

(1)用x，y表示混合食物成本c元;

(2)確定 x，y，z的值，使成本最低.

考點分析 本題考查的知識點是不等式和線性規劃問題，考查應用數學知識分析問題和解決問題的能力.

解題思路 (1)由題意得

因此當 x=50 kg，y=20 kg，z=30 kg時，混合物成本最低，為850元.

點評與拓展 本題為線性規劃問題，用解析幾何的觀點看，問題的解實際上是由4條直線所圍成的區不難發現，應在點M(50，20)處取得.

圖1

題型3 幾何模型

例3 某工廠生產容積為π立方米的圓柱形無蓋容器，制造底面的材料每平方米30元，制造側面的材料每平方米20元，設計時材料的厚度及損耗可以忽略不計.

(1)把制造容器的成本y(元)表示成容器底面半徑為x(米)的函數，并指出當底面半徑為多少時，制造容器的成本最低?求出最低成本.

(2)若為某種特殊需要，要求容器的底面半徑不小于2(米)，則最低成本為多少元(精確到1元)?

考點分析 本題考查的知識點是立體幾何中圓柱的概念，函數和不等式的運用.能力是根據題意，熟練地建立函數模型，運用函數性質、不等式等知識來處理所得的最值問題.

解題思路 (1)設圓柱形容器的高為h，則

于是函數y=30πx2+60π x在區間［2，+∞)上單調遞增.故當x=2時，y取得最小值為：150π≈471(元).

點評與拓展 均值不等式求解時要注意等號成立的條件.

題型4 數列模型

例4 某商場經過市場調查分析后得知，2003年從年初開始的前n個月內，對某種商品需求的累計數f(n)(萬件)近似地滿足下列關系：

(1)問這一年內，哪幾個月需求量超過1.3萬件?

(2)若在全年銷售中，將該產品都在每月初等量投放市場，為了保證該商品全年不脫銷，每月初至少要投放多少件商品(精確到件)?

考點分析 本題考查的知識點是數列和不等式的應用，能力是培養學生應用數學知識分析問題和解決問題的能力.

解題思路 (1)首先，第n月的月需求量滿足

本文所采用數據主要來自于2015年全國1%人口抽樣調查匯總數據。此次調查是以2015年11月1日零時為標準時點，以全國為總體，以各地級市(地區、盟、州)為子總體，采取分層、二階段、概率比例、整群抽樣的方法，對我國境內抽中調查小區內的全部人口(不包括港澳臺居民和外國人)進行調查，最終樣本量為2131萬人，占全國總人口的1.55%，其中樣本中農民工總量為935.6萬人，河北省農民工總量為56.8萬人。具體數據如表1。

即這一年的5，6月的需求量超過1.3萬件.

(2)設每月初等量投放商品a萬件，要使商品不脫銷，對于第n月來說，不僅有本月投放市場的a萬件商品，還有前幾個月未銷售完的商品.因此只需na-f(n)≥0，即

點評與拓展 實際問題的解答要注意其實際意義.本題中的最小值不能用四舍五入的方法得到，否則不符合題意.

題型5 概率模型

例5 A，B兩個代表隊進行乒乓球對抗賽，每隊3 名隊員，A 隊隊員是 A1，A2，A3，B 隊隊員是 B1，B2，B3.按以往多次比賽的統計，對陣隊員之間勝負概率如表2.

表2 對陣隊員之間勝負概率

現按表中對陣方式出場，每場勝隊得1分，負隊得0分，設A隊、B隊最后所得總分分別為ξ，η.

(1)求ξ，η的概率分布;

考點分析 本小題考查離散型隨機變量分布列和數學期望等概念，考查運用概率知識解決實際問題的能力.

解題思路 (1)ξ，η的可能取值分別為3，2，1，0，于是

點評與拓展 高考應用性問題的熱門話題是增減比率型和方案優化型，另外估測計算型和信息遷移型也時有出現.求解應用題的一般步驟是(四步法)：

(1)讀題：讀懂和深刻理解，譯為數學語言，找出主要關系;

(2)建模：把主要關系近似化、形式化，抽象成數學問題;

(3)求解：化歸為常規問題，選擇合適的數學方法求解;

(4)評價：對結果進行驗證或評估，對錯誤加以調節，最后將結果應用于現實，作出解釋或驗證.

題型6 三角模型

考點分析 考查學生的空間想象能力和運用所學知識解決實際問題的能力.

圖2

圖3

解法1 設在時刻t(h)臺風中心為Q(如圖3)，此時臺風侵襲的圓形區域半徑為10t+60(km).若在時刻t城市O受到臺風的侵襲，則

即12小時后該城市開始受到臺風的襲擊.

解法2 以點P為原點，正東方向為x軸的正方向，建立直角坐標系(如圖4).

點評與拓展 以預測臺風影響時間為背景，通過對題中給出信息的分析，準確地理解臺風運動的規律，綜合應用有關的知識和方法建立適當的數學模型.

圖4

圖5

題型7 測量模型

例7 某人在一山坡P處觀看對面山項上的一座鐵塔，如圖5所示，塔高BC=80(米)，塔所在的山高OB=220(米)，OA=200(米)，圖中所示的山坡可視為直線l且點P在直線l上，與水平地面的夾角為 α，tanα=，試問此人距水平地面多高時，觀看塔的視角∠BPC最大(不計此人的身高).

考點分析 這是一道解析幾何與函數綜合在一起的應用題，通過計算直線的斜率，一條直線與另一條直線的夾角公式獲得函數的表達式.

圖6

圖7

又由直線PC到直線PB的角的公式，得

因此當∠tanBPC最大時，∠BPC為最大.故當此人距水平地面60米高時，觀看鐵塔的視角∠BPC最大.

題型8 二次曲線模型

圖8

(1)求航天器變軌后的運行軌跡所在的曲線方程;

(2)試問：當航天器在x軸上方時，觀測點A，B測得離航天器的距離分別是多少時，應向航天器發出變軌指令.

考點分析 與光學、力學、軌跡等有關的應用問題，可通過建立適當的坐標系，運用曲線的知識建立數學模型解答，且主要研究的是二次曲線，因此可稱之為二次曲線模型.

解題思路 (1)設曲線方程為題意可知，降落點D(8，0)在曲線上，則

(2)設變軌點為C(x，y).根據題意可知，由

將y=4代入橢圓方程得

x=6或x=-6(不合題意，舍去)，因此點C的坐標為(6，4).于是

點評與拓展 本題是一道立意新穎、難度適中的數學應用題，題目以大家非常感興趣的宇宙航行問題為背景，設計了航天器變軌返回試驗問題.數學模型是已知的，又是大家熟悉的，問題的提出則是已知拋物線的頂點和另一點的坐標，求拋物線的方程以及求橢圓與拋物線的交點的坐標和兩點間的距離等熟悉的內容，但是改成實際問題之后，就能考查應用數學知識解決實際問題能力和分析問題與解決問題的能力.把考知識的題目變成了考能力、考思維的題目.