運用圖解法解一類平面向量問題

●吳淑芬 (團風縣楚天學校 湖北團風 438800) ●林慧敏 (團風縣實驗中學 湖北團風 438800)

平面向量是高中數學新教材增設的內容之一，它具有代數形式與幾何形式的“雙重身份”.為此，在解決平面向量的某些問題時，如果能抓住向量既具有數又具有形的特點，運用數形結合的思想，根據題目中的已知條件，恰當地構造出符合題意的圖形，利用圖解法解答，往往能達到事半功倍的效果.下面舉例說明之，供參考.

1 利用圖解法求向量的夾角

例1 設非零向量 a，b，c滿足|a|=|b|=|c|，a+b=c，則 ＜ a，b ＞ = ( )

A.150° B.120° C.60° D.30°

(2009年全國數學高考試題)

圖1

圖2

例2 已知a，b是2個非零向量，同時滿足|a|=|b|=|a-b|，則b與a+b的夾角為( )

A.30° B.60° C.120° D.150°

于是 ∠AOC=30°，

從而b與a+b的夾角為30°.故選A.

2 利用圖解法求向量的模

例3 平面向量a與b的夾角為60°，a=(2，0)，|b|=1，則|a+2b|= ( )

(2009年遼寧省數學高考試題)

因此四邊形OACB為菱形.設OC與AB交于點D.由向量加法的平行四邊形法則，知

圖3

圖4

例4 已知a，b是平面內2個互相垂直的單位向量，若向量c滿足(a-c)·(b-c)=0，則|c|的最大值是 ( )

(2008年浙江省數學高考試題)

例5 向量 a，b，c 滿足 a+b+c=0，(a-b)⊥c，a⊥b.若 |a|=1，則|a|2+|b|2+|c|2的值是_______.

(2006年浙江省數學高考試題)

因此△ABC為等腰直角三角形，于是

圖5

圖6

3 利用圖解法求向量的其他值

例7 已知向量 a，b滿足|a|=1，|b|=2，|2a+b|=2，則向量b在向量a方向的投影是( )

解依題意，構造如圖7所示的△ABC.令，則 →由|2a|=|b|=|2a+b|知，△ABC為等邊三角形，因此∠ABC=60°，從而a與b的夾角為120°，于是b在a方向上的投影為

故選D.

圖7

圖8

(2006年福建省數學高考試題)

故選B.

以上各題都可用直接法求解，但都顯得比較復雜.而運用圖解法求解簡單易行、形象直觀.圖解法的關鍵是運用數形結合的思想，構造出恰當的圖形.一般地，可根據題設條件和向量的幾何意義，作出三角形、平行四邊形、菱形等圖形幫助問題解決.