基于稀疏貝葉斯學習的多頻帶雷達信號融合

葉 釩 何 峰 梁甸農 朱炬波

(國防科技大學電子科學與工程學院,湖南長沙410073)

1.引 言

多頻帶雷達信號融合處理利用多部雷達在相同視角從不同頻帶獲取目標的一維雷達觀測信號,通過信號級的稀疏頻帶相干融合,提高雷達距離向分辨率[1-3]。它打破了傳統的單雷達成像距離分辨率受限于單部雷達帶寬的約束,可明顯改善一維距離像質量。

傳統的雷達信號融合技術主要為基于譜估計類的融合方法,例如多重信號分類方法(MUSIC)[4]以及修正的求根多重信號分類(Root-MUSIC)方法[2]、矩陣增強矩陣束(MEMP)方法[5]、狀態空間方法[6]等。雖然這些方法的參數估計精度高,但是需要已知目標散射點個數,這在實際處理中往往是無法做到的。雖然存在眾多模型階數的估計方法,例如最小描述長度(MDL)方法[7]和bootstrap[8]方法,但是估計精度受噪聲的影響很大。而基于自回歸(AR)模型[3]、自回歸積分滑動平均(ARIMA)模型[9]以及基于正則化[10]的外推內插方法,雖然對模型階數相對不敏感、但是內插帶寬的長度有限,不適合于稀疏子帶信號融合[3]。

1995年S.Chen在其博士論文中提出了用于信號稀疏表示的基追蹤(BP)原理[11]。對比于框架方法(MOF)、最優正交基方法(BOB)、匹配追蹤方法(MP)等,BP的性能更加優越[12]。在多頻帶信號融合處理中,由于多個頻帶稀疏分布,使得觀測系統矩陣的相干性被破壞,從而使得基追蹤方法可能無法收斂到信號的真實稀疏表示。

針對以上問題,我們將稀疏貝葉斯學習(SBL)應用于融合處理,提出了一種基于SBL的多頻帶信號融合方法。此方法不僅避免了模型階數估計,同時克服了BP算法局限性。

2.理論分析

2.1 信號觀測模型

考慮多個理想點散射中心組成的雷達目標,散射中心的數目為K,各個散射中心到雷達的距離為rk,k=1,2,…,K,則目標譜域信號的離散形式可以寫為

式中：n=0,1,…,N-1;σk為散射中心的幅度;τk=2rk/c為時延,c為光速;Δf為頻率采樣間隔。令 ω=Δfτk,易知 ω∈(0,1] 。

將數字頻率離散化,令 ω=n/N,n=0,1,…,N-1,式(1)還可以寫成如下的矩陣形式

式中：E=[E(0),E(1),…E(N-1)]T為觀測向量;σ=[σ(0),σ(1),…σ(N-1)]T為一維距離圖像;Φ=[φ0,φ1,…φN-1]為觀測系統矩陣或者詞典,其中

當有多部雷達數據時,由于雷達位置以及參考距離選取的不同,不同雷達的譜域測量數據存在不相關性[1-2]。因此,相關處理是融合處理前提。針對此問題王成在其博士論文中已經進行了詳細的研究[13],這里就不再重復,假設多頻帶雷達信號都已經完全相關。那么如圖1所示,多頻子帶雷達信號等價于全頻帶雷達信號的稀疏采樣。

圖1 多頻帶信號的稀疏分布示意圖

考慮兩部雷達信號的融合,雷達1信號E1的頻率采樣為n1=0,1…,L1-1,雷達2信號E2的頻率采樣為n2=N-L2,N-L2+1,…,N-1。則多頻帶信號的觀測模型可以寫為

式中,H為采樣矩陣

式中,I為單位矩陣;0為零陣。式(5)的觀測模型可以推廣到更多頻帶信號融合的情況。

2.2 基追蹤的局限性

信號的稀疏表示可以轉化為如下的(P0)問題

基追蹤考慮如下的(P1)問題

分析多頻帶的稀疏分布對觀測系統矩陣的相關性度量的影響,首先給出幾個必要的定義和定理。

定義1[14]：若 Φ已經歸一化,記G=ΦHΦ,定義M(G)為 Φ的互相干度量,

定理1[14]：若(P0)問題的唯一解滿足則σ0也是(P1)問題的唯一解。

定理1表明,如果實際信號并不滿足一定的稀疏性,基追蹤方法收斂到的全局最優解不一定等于信號的真實稀疏解。

在多頻帶信號融合處理中,觀測模型滿足式(4)。我們將證明子頻帶的稀疏分布會破壞觀測系統矩陣的相關性度量

根據等比數列求和的公式,由式(9)可以得到如下的不等式

根據互相干度量的定義有

當實際目標中包含的散射點個數大于閾值(1+1/M(G))/2時,BP算法可能無法收斂到信號的真實稀疏解。另外由式(2)可知：當M=N時,目標的觀測模型中的系統矩陣為正交傅立葉基,因此,M(G)=0,無論目標包含多少個散射點均滿足式(8),而在融合處理中,由于頻帶的稀疏分布,破壞了矩陣的互相干度量,使得系統矩陣不再正交,M(G)≠0,因此根據定理1,BP算法的全局最優解可能不等于信號的真實稀疏表示。如圖2所示,隨著子頻帶長度的增加,C逐漸增大。

2.3 基于稀疏貝葉斯學習的融合方法

文獻[15]中提到BP的先驗信息為固定先驗信息,存在結構誤差。當后驗模型不夠稀疏,最優解就可能不等于真實稀疏解。而SBL方法不存在結構誤差。稀疏貝葉斯學習方法的關鍵在于算法結合了一個依賴于未知超參數的可變的先驗分布,這些超參數必須從數據中估計出來。

考慮含噪聲的觀測模型

假設p(E|σ)滿足高斯分布,噪聲方差為λ。對 σ中每個元素分配一個獨立的高斯先驗信息[15]

式中：γi為未知方差參數,則σ的后驗概率密度為[15]

式中：

為了證明SBL算法在多頻帶融合處理中的有效性,先給出定義2

定義2[15]：如果由 Φ中N列組成任意子集構成了RN中的一個基,則稱 Φ滿足唯一表示性(URP)。

文獻[15]中指出 Φ滿足URP,那么利用SBL算法就可找到等價于(P0)問題的解。下面我們就證明在多頻帶融合處理中 滿足URP條件。

證明：任意選取L1+L2列元素組成矩陣?Φ只需要證明rank(?Φ)=L1+L2即可。由 ?Φ的結構可以知道

式中：H′為由任選的列決定的采樣矩陣。由H′和H的構造方法可知,這兩個矩陣經過初等變換可以變換為

由兩個采樣矩陣的秩為L1+L2。由矩陣秩的性質可知

另一方面由秩不等式可知

綜合式(19)和式(20)可以知道,rank(Φ?)=L1+L2,證明完畢。SBL算法適用于多頻帶信號融合處理。SBL算法步驟：

1)初始化超參數γ=1,或者非負隨機向量;

2)利用式(15)計算∑和 μ;

3)利用EM算法更新γ

4)重復步驟2)和3),直到收斂到固定γ*

5)利用式(15)計算 μ*,令 σ=μ*

需要注意的是,SBL算法是定義在實數域上,而多頻帶雷達信號是復數據,因此,要對觀測系統作如下的變換,才能運用SBL算法進行融合處理。

3.實驗結果分析

利用仿真實驗來說明基于SBL的多頻帶雷達信號融合的有效性,同時對比BP算法的融合結果,證明基于SBL融合方法的優越性。

假設全頻帶雷達信號的采樣點數為100,信號包含七個單頻分量,頻點分別位于 30、32、40、42、43、44、45采樣點處,幅度均為 1。全頻帶信號的前30個采樣點構成低頻帶信號,后30個采樣點構成高頻帶信號,然后在兩個子頻帶信號上分別附加了信噪比為20 dB的高斯白噪聲。圖3為基于SBL的多頻帶信號融合處理的結果。

圖3中褐色的點線為低頻帶信號的一維距離像,從圖3中可以看出由于分辨力較低,無法從圖像中分辨出七個頻率分量。藍色的虛線為基于BP方法的多頻帶融合處理結果,分辨率理論上足夠分辨七個頻率分量,但是由于頻帶稀疏分布,使得觀測系統矩陣的相干度量被破壞,因此BP方法沒有得到信號的真實稀疏表示,從圖中來看出現了兩個虛假峰值。而紅色曲線表示基于SBL方法的多頻帶融合處理結果,可以看到七個頻率清晰可分辨,頻點位置估計精確,幅度也保持得很好。

實測數據的處理結果是：目標為雅克47飛機,理想全頻帶數據大小為128×256,選取前128×80個采樣點為低頻數據,后128×80個采樣點為高頻數據,圖4為兩種融合處理對比,在圖4(a)中可以看到飛機的大致輪廓,其由機尾、機身、機翼和機頭組成。圖4(b)為雷達1信號的成像結果。由于帶寬較窄,距離向分辨率較低,飛機的輪廓已經模糊,在圖中也看不到機頭。圖4(c)為基于BP算法的多頻帶信號融合成像結果。相對于單雷達的成像結果,經過融合后,圖像的分辨率明顯提高,結構細節更加豐富,但是同樣無法看到機頭輪廓。而圖4(d)為基于SBL算法的多頻帶信號融合成像結果。相對于前三幅圖像,機尾、機身和機翼的結構更加細致,輪廓更加完整,機頭的形狀更加突出。從圖中4可以看到基于SBL的多頻帶融合能夠更好地恢復全頻帶數據,與理想全頻帶成像結果更加一致。

因此SBL方法適用于多頻帶雷達信號融合處理,處理性能要優于BP方法。

4.結 論

SBL方法是一種信號稀疏表示方法。它能夠避免譜估計算法固有的階數敏感性,又能消除由于頻帶稀疏分布給觀測系統矩陣相干性度量所帶來的破壞。相比BP算法,基于SBL的多頻帶雷達信號融合處理的性能更加優越。計算機仿真實驗也驗證了以上結論。

[1] CUOMO K M,PIOU J E.Ultrawide-band coherent processing[J].IEEE Transactions on Antennas and Propagation,1999,47(4)：1094-1107.

[2] VANN L D,CUOMO K M.Multisensor fusion processing for enhanced radar imaging[R].Lexington,M assachusetts,United States：Lincoln Laboratory,2000,1-73.

[3] MORRE T G,ZUERNDORFER B W.Enhanced imagery using spectral-estimation-based techniques[J].Lincoln Laboratory Journal,1997,10(2)：171-186.

[4] 代大海,王雪松,肖順平,等.高分辨相干極化GTD散射模型及其應用[J].電波科學學報,2008,23(1)：56-61.DAI Dahai,WANG Xuesong,XIAO Shunping,et al.High-resolution coherent polarization GTD model and its application[J].Chinese Journal of Radio Science,2008,23(1)：55-61.(in Chinese)

[5] 葉 釩,何 峰,梁甸農.基于EMEMP的雷達二維信號融合成像新方法[J].電子學報,2009,37(12)：2609-2613.YE Fan,HEFeng,LIANG Diannong.A new method for radar two-dimensional signal fusion based on EM EMP[J].Acta Electronica Sinica,2009,37(12)：2609-2613.(in Chinese)

[6] NAISHADHAM K,PIOU J E.State-space spectral estimation of characteristic electromagnetic responses in wideband data[J].IEEE Antennas and Wireless Propagation Letters,2005(4)：406-409.

[7] WAX M,ZISKIND I.Detection of the number of coherent signals by the MDL principle[J].IEEE Transactions on Acoustics.Speech.And Signal Processing,1999,37(8)：1190-1196.

[8] 汪 玲,殷吉昊,陳天麒.寬帶信號源個數估計頻域bootstrap方法[J].電波科學學報,2007,22(1)：131-133.WANG Ling,YIN Jihao,CHEN Tianqi.Frequencydomain bootstrap method for source number estimation of wideband signals[J].Chinese Journal of Radio Science,2007,22(1)：130-133.(in Chinese)

[9] 王 成,胡衛東,郁文賢.基于非平穩時間序列處理的雷達信號融合[J].信號處理,2005,21(4)：338-343.WANG Cheng,HU Weidong,YU Wenxian.Radar signal fusion based on non-stationary time series processes[J].Signal Processing,2005,21(4)：338-343.(in Chinese)

[10] 熊俊志,楊子杰,王 勤.基于內插/外推的非連續譜高頻雷達二維處理[J].電波科學學報,2006,21(5)：735-739.XIONG Junzhi,YANG Zijie,WANG Qin.2-D signal processing for discontinuous spectra hf radar based on interpolation/extrapolation[J].Chinese Journal of Radio Science,2006,21(5)：735-739.(in Chinese)

[11] Chen S S.Basis pursuit[D].USA：Standford University,1995.

[12] 汪雄良.基追蹤方法及其在圖像處理中應用的研究[D].湖南長沙：國防科技大學,2006.

[13] 王 成.雷達信號層融合成像技術研究[D].湖南長沙：國防科技大學,2006.

[14] DONOHO D L,ELAD M.Optimally sparse representation in general dictionaries via minimization[J].Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America,2003,100(5)：2197-2202.

[15] WIPF D P.Bayesian methods for finding sparse representations[D].San Diego：University of California,2006.