非高斯系統(tǒng)下卡爾曼濾波算法誤差性能分析

陳金廣， 馬麗麗

(西安工程大學(xué)計算機科學(xué)學(xué)院，西安 710048)

0 引言

狀態(tài)估計和濾波算法在自動化控制領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，尤其是上世紀(jì)卡爾曼濾波算法的出現(xiàn)對現(xiàn)代最優(yōu)控制技術(shù)產(chǎn)生了深遠(yuǎn)影響［1－2］。卡爾曼濾波算法是針對線性高斯系統(tǒng)下的最小方差估計，對于非線性系統(tǒng)，可以采用擴展卡爾曼濾波等次優(yōu)算法，此時狀態(tài)估計結(jié)果為最小方差估計意義下的次優(yōu)結(jié)果［3］。為了進一步提高濾波精度，Julier等人提出不敏卡爾曼濾波算法［4－5］，采用確定性采樣的方法對狀態(tài)向量的后驗概率進行估計，取得了較好的濾波效果，然而該算法時間復(fù)雜度有所增加。粒子濾波算法［6－8］采用隨機采樣的思想，利用大量的粒子對狀態(tài)估計的后驗概率進行逼近，能夠解決非線性非高斯系統(tǒng)狀態(tài)估計的問題。然而粒子濾波算法需要大量的粒子參與運算，存在時間復(fù)雜度高的問題。因此，在許多實時性較高的系統(tǒng)中仍然使用卡爾曼濾波。

卡爾曼濾波的一個使用條件是高斯系統(tǒng)，對于非高斯系統(tǒng)，算法的濾波結(jié)果誤差是線性最小方差意義下的最優(yōu)估計［2］。本文用仿真的方法探討系統(tǒng)噪聲在均值相同、方差相同的條件下，噪聲的非高斯性對卡爾曼濾波算法誤差性能影響程度的問題。此外，為了對噪聲分布的非高斯程度實施量化，采用信息距離的方法對系統(tǒng)的非高斯程度進行度量。分別針對均勻分布、伽馬分布和瑞利分布3種非高斯分布下的狀態(tài)估計系統(tǒng)采用卡爾曼濾波算法進行濾波。仿真結(jié)果表明，在噪聲均值和方差相同的條件下，盡管幾種非高斯分布和高斯分布的信息距離大小不同，然而其濾波結(jié)果誤差基本一致。這一結(jié)果是對非高斯系統(tǒng)下卡爾曼濾波內(nèi)容的補充，對工程實踐人員有一定的參考價值。

1 噪聲分布模型

高斯分布是統(tǒng)計學(xué)中最常用的一個分布，它是描述圍繞均值的一組數(shù)據(jù)集合，屬于連續(xù)型分布，它是解決許多實際統(tǒng)計問題模型中的一個較為理想的統(tǒng)計模型。然而，現(xiàn)實世界往往存在一些不符合高斯分布的情形，常見的非高斯分布有均勻分布、伽馬分布和瑞利分布等。下面簡單介紹這些非高斯分布的概率密度函數(shù)定義及其統(tǒng)計特性。

均勻分布描述的是在有效的數(shù)據(jù)區(qū)間上，數(shù)據(jù)的取值概率相等。假如在二維空間中，用兩個參數(shù)a，b描述均勻分布的數(shù)據(jù)取值區(qū)間，一個是數(shù)值的上界，另一個是數(shù)值的下界。連續(xù)均勻分布概率密度函數(shù)為

伽馬分布是連續(xù)型分布，是指數(shù)分布在等待時間模型中的應(yīng)用。伽馬分布的概率密度函數(shù)有兩個參數(shù)，尺度參數(shù)λ－1和形狀參數(shù)r，這兩個參數(shù)都是正實數(shù)。當(dāng)參數(shù)r是整數(shù)時，伽馬分布其實就是指數(shù)分布的擴展形式。具體地說，如果某事件發(fā)生在參數(shù)為λ的泊松過程之后，則該事件發(fā)生一次時的等待時間服從指數(shù)分布exp(λ)，如果r是一個任意的正整數(shù)，那么直到事件發(fā)生r次為止的等待時間就服從伽馬分布Γ(r，λ)。伽馬分布的概率密度函數(shù)為

通常記作 Γ(r，λ)。伽馬分布的均值為 rλ－1，方差為rλ－2。

瑞利分布的概率密度函數(shù)為

為了能夠表示均值為0的噪聲序列，將上述分布沿著x軸進行平移，使得上述各種分布的均值都為0。此時方差為10和方差為1000的概率密度函數(shù)如圖1所示。從圖1可以看出均勻分布、伽馬分布、瑞利分布和高斯分布存在明顯差異。

圖1 幾種常用分布的概率密度函數(shù)Fig.1 Probability density functions of several common distributions

2 基于信息距離的非高斯程度度量方法

對于兩個不同概率分布之間距離的度量往往采用信息度量法。常用的有Kullback-Leibler距離、Topsoe距離、Chernoff距離和 Bhattacharyya 距離等［9－10］。為了考察各種非高斯分布的非高斯程度，采用信息距離的方法進行度量。

假如p0，p1表示兩個分布的概率密度函數(shù)，它們之間的Kullback-Leibler距離定義為

本文中l(wèi)og表示自然對數(shù)。

Chernoff距離定義為

依據(jù)上述定義，表1給出了均值為6.0496，方差為10情況下不同分布之間的4種信息距離度量。表1表明，幾種分布的非高斯程度由大到小依次為瑞利分布、伽馬分布、均勻分布。不同種類信息距離的度量方法計算出的值互不相同，因此，非高斯程度的強弱只有在相同的度量標(biāo)準(zhǔn)下進行比較才有意義。從信息距離的定義可知，如果兩個概率分布完全一致，則其值為0，否則值不為0，而且隨著非高斯程度的增加而增大。

表1 均值為6.0496，方差為10時的距離Table 1 Different distance with mean value of 6.0496 and variance of 10

3 仿真實驗及結(jié)果分析

為了驗證非高斯噪聲分布對卡爾曼濾波結(jié)果誤差的影響，假定系統(tǒng)是確定性系統(tǒng)(此時過程噪聲為0)，量測噪聲服從高斯或者非高斯分布。下面兩個例子分別采用線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)進行仿真實驗。

例1 線性系統(tǒng)濾波。

使用一維空間中的目標(biāo)跟蹤模型［11］。假設(shè)狀態(tài)向量為x=［ξ］T，其離散線性系統(tǒng)的動態(tài)方程和量測方程分別為

其中:wk，vk表示系統(tǒng)的過程噪聲和量測噪聲序列，它們服從均值為零方差為Q和R的某種分布。實驗中參數(shù)設(shè)置如下:T=1，x(0)=［00］T;P0=diag(105);仿真步數(shù)N=300;分別采用均值為0和方差為10的高斯分布、均勻分布、伽馬分布、瑞利分布產(chǎn)生量測噪聲;采用蒙特卡羅方法仿真100次，計算不同分布噪聲情況下濾波結(jié)果的均方根誤差。此時，均方根誤差定義為

圖2 噪聲方差為10條件下位置和速度的均方根誤差Fig.2 RMS of position and velocity with noise variance of 10

圖2表明，高斯分布和非高斯分布產(chǎn)生的量測噪聲對線性系統(tǒng)的濾波結(jié)果誤差基本相同。

此外，為了考察不同非高斯分布噪聲在方差水平不一樣的條件下對濾波誤差性能的影響，將過程噪聲方差設(shè)置為0，而將量測噪聲的方差作為變量(其取值集合設(shè)定為 R={10，30，50，…，1000})。在每個量測噪聲方差取值的條件下，分別產(chǎn)生不同分布條件下的量測數(shù)據(jù)，對這4種情況分別進行濾波，計算結(jié)果的均方根誤差。此時，均方根誤差的計算公式為

圖3 不同方差水平下的均方根誤差Fig.3 RMS under different variance levels

例2 非線性系統(tǒng)濾波。

采用經(jīng)濟學(xué)中使用的單變量非穩(wěn)態(tài)模型，該模型是一個強非線性系統(tǒng)［6］。其離散非線性系統(tǒng)動態(tài)方程和量測方程為

其中:uk，vk分別為系統(tǒng)的過程噪聲和量測噪聲序列，它們服從均值為0方差為Q和R的某種分布。實驗過程中參數(shù)設(shè)置為:x0=1，P0=5，采用蒙特卡羅方法仿真100次，計算不同情況下濾波結(jié)果的均方根誤差，均方根的計算公式與式(10)相同，結(jié)果如圖4所示。圖4表明，量測噪聲在各類非高斯分布的條件下，其均方根誤差與高斯分布的均方根誤差基本一致。

圖4 噪聲方差為10條件下的均方根誤差Fig.4 RMS with noise variance of 10

為了考察濾波誤差與噪聲方差大小之間的關(guān)系，設(shè)定不同的噪聲方差序列 R={10，30，50，…，1000}，依次取不同的噪聲方差仿真產(chǎn)生各種非高斯分布下的噪聲序列，并采用擴展卡爾曼濾波算法獲得濾波結(jié)果，根據(jù)式(11)計算估計值的均方根誤差，結(jié)果如圖5所示。圖5表明，估計誤差隨著噪聲方差的增加而增大;在不同的噪聲水平上，各種非高斯分布的誤差和高斯分布的基本一致。

圖5 不同方差水平下的均方根誤差Fig.5 RMS under different variance levels

上述兩個例子仿真結(jié)果均表明，在噪聲均值和方差一致的條件下，非高斯系統(tǒng)和高斯系統(tǒng)的濾波結(jié)果誤差性能基本一致。而且，進一步仿真實驗表明，當(dāng)過程噪聲取方差不為0的非高斯分布情況下，或者在過程噪聲和量測噪聲同時取方差不為0的非高斯分布情況下，線性系統(tǒng)或者非線性系統(tǒng)的濾波結(jié)果均方根誤差都基本一致，這與上述實驗結(jié)果相同。

4 結(jié)論

本文在已知噪聲序列均值和方差的條件下，討論具有均勻分布、伽馬分布、瑞利分布3種非高斯分布對卡爾曼濾波誤差性能的影響。采用計算非高斯分布和高斯分布之間信息距離的方法對非高斯程度進行度量。在均值和方差相同的情況下，盡管均勻分布、伽馬分布和瑞利分布具有明顯的非高斯特征，然而仿真實驗結(jié)果表明非高斯系統(tǒng)和高斯系統(tǒng)的濾波結(jié)果誤差性能基本一致。這就啟示我們在工程應(yīng)用中可以將非高斯程度較低的非高斯系統(tǒng)近似看作是均值方差相同的高斯分布，從而方便地利用卡爾曼或者擴展卡爾曼濾波算法加以解決。

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