基于復雜網絡理論的作戰體系節點重要性分析

李茂林，龍建國，張德群

（1.海軍指揮學院，江蘇 南京 210016；2.軍事科學院軍事運籌分析研究所，北京 210016）

隨著戰爭形態由機械化戰爭向信息化戰爭轉變，體系對抗成為作戰的主要樣式和基本理念。為了準確判定作戰體系的關鍵節點，節點重要性分析變得尤為重要。一般而言，作戰體系節點重要性分析需要采用定性定量相結合的方法進行，既需要充分利用指揮決策者的經驗和知識，同時要借助相關的模型和工具進行計算。但是，由于信息化條件下作戰體系節點信息量非常龐大，節點之間相互作用非常復雜，決策者僅憑自己以往經驗進行分析判斷，很難做出正確的決策。

近年來，復雜網絡理論得到了國內外研究者的廣泛關注，在數理科學、生命科學、社會科學、技術科學和管理科學等眾多學科中都掀起了研究和應用的熱潮，被稱為“網絡的新科學”[1]。本文嘗試將復雜網絡理論應用于作戰體系節點重要性分析領域，在對作戰體系結構進行網絡描述的基礎上，根據節點重要性指標對節點的重要程度進行度量，并根據作戰體系受到攻擊后的受損程度對重要性指標的有效性進行分析。

1 作戰體系結構的基本特征和網絡描述

機械化戰爭時代，在通信手段和指揮控制手段受限的情況下，作戰體系采取節點中心模式進行構建，即將所有作戰力量分解為若干作戰集團，這些作戰集團保留一部分機動力量后，其余力量又分別向下分解為若干小的作戰集團或作戰集群，照此依次向下劃分，形成了一種樹狀結構。隨著指揮信息系統的功能越來越強，信息傳輸更加迅捷，戰場網絡更加拓展，作戰體系的構建逐步轉為網絡中心模式，即借助高效的信息網絡，將廣泛分布于戰場的各種節點實現有效連接，作戰體系任何兩個節點之間均可以根據需要建立聯系，各種聯系縱橫交錯，逐步形成網絡化結構[2]。

依據復雜網絡理論，可以定義作戰體系由節點集合V和邊集合E組成的圖 G ＝ ( V,E)。其中，V＝｛v1, v2,…,vn｝，代表組成作戰體系的指揮控制節點、預警偵察節點（包括戰場態勢信息源節點和目標信息源節點）、攻防交戰節點等； E ＝｛e1, e2,…,em｝，代表節點之間信息傳遞關系[3]。

圖1為具有一定信息化程度作戰體系的網絡拓撲圖。該作戰體系包含100個節點，362對節點之間存在信息傳遞關系。其中，空心圓形節點代表核心指揮控制節點，實心圓形節點代表一般指揮控制節點，三角形節點代表攻防交戰節點，空心方形節點代表戰場態勢信息源節點，實心方形節點代表目標信息源節點。

圖1 作戰體系的網絡拓撲圖

2 作戰體系節點重要性的度量指標和結果

2.1 節點重要性指標

不同類型的復雜網絡可以用不同的指標衡量網絡節點的重要程度，比如度指標、介數指標、緊密度指標、特征向量指標[4]等。作戰體系作為一種典型的復雜網絡，同樣可以使用這些指標對節點的重要性進行度量。

2.1.1度指標

度指標是研究網絡拓撲結構的基本參數，用于描述在靜態網絡中節點所產生的直接影響力。根據節點度的定義，將節點i的度指標定義為：

式中， d （ i）表示節點i的度。

為了根據度指標來比較不同規模網絡中節點的重要性，需要對度指標進行歸一化處理。具有n個節點的網絡中，節點的度不會超過 n - 1，故歸一化的度指標定義為

2.1.2介數指標

介數指標是指網絡中最短路徑通過該節點的數量，反映的是節點在網絡中的樞紐性。設網絡具有n個節點，則節點i的介數指標定義為

式中，gjk表示節點 j和節點k之間的最短路徑數，gjk（x ）表示節點j和節點k之間經過節點i的最短路徑數。

具有n個節點的網絡中，對于給定節點i來說，最為極端的情形是任意兩個其它節點之間的最短路徑均經過該節點，此時該節點的介數指標達到最大值（n- 1 ）（ n - 2）2，故歸一化的介數指標可以定義為

2.1.3緊密度指標

緊密度指標用于刻畫網絡中的節點通過網絡到達網絡中其它節點的難易程度，其值定義為該節點到達所有其它節點的距離之和的倒數。設網絡具有n個節點，則節點i的緊密度指標定義為：

式中，dij表示節點i到節點j之間的距離。

具有n個節點的網絡中，節點到達所有其它節點的距離之和不會小于n-1，故歸一化的緊密度指標定義為

2.1.4特征向量指標

一個節點的度指標描述了該節點對于其它節點的直接影響力，若一個節點與另一個度值很高的節點之間存在連接，則該節點的影響力也應該很大，可以引入特征向量指標來分析這種通過具有高度值的相鄰節點所獲得的間接影響力。

設網絡具有n個節點，其鄰接矩陣記為A，λ為A的主特征值，e ＝ （ e1, e2,… ,en）為矩陣A對應的 λ 的特征向量。節點i的特征向量指標定義為

2.2 節點重要性的度量結果

使用度指標、介數指標、緊密度指標和特征向量指標分別對圖1所示作戰體系節點的重要性進行了度量。表1列舉了重要性位于前20位的節點的序號。

表1 節點重要性的度量結果

3 作戰體系節點重要性指標有效性分析

從表1可以看出，不同指標對節點重要性的度量結果存在著一定的差別，那么選擇哪種指標能夠更有效地衡量作戰體系中節點的重要程度，便成為作戰體系節點重要性分析的另一問題。

3.1 指標有效性的衡量標準

按照重要性指標對節點的重要程度進行度量后，如果按照節點重要性的大小對作戰體系進行攻擊，伴隨著節點受損，作戰體系中某些節點之間無法進行信息交換，必將導致整個作戰體系分裂為很多相互獨立的連通分支。根據Albert和Border等人的研究成果，可以利用最大連通分支的大小（S）和平均路徑長度（L）這兩個拓撲屬性度量作戰體系的受損程度[5]。

最大連通分支的大小指的是相對大小，即最大連通分支的節點數與所有節點數的比值。

平均距離長度定義為：

其中，N為節點數；dij為任意兩個節點i和 j之間的距離，即連接這兩個節點的最短路徑上的邊數。

因此，為了選取適用于度量作戰體系中節點重要性的指標，可以按照不同指標的度量結果對作戰體系進行攻擊實驗，即按照重要性指標值從大到小的順序刪除該節點和與之相連的所有邊，根據為了達到一定受損程度而必須攻擊重要節點數量的多少，來衡量不同重要性指標度量節點重要程度的有效性。

3.2 重要性指標有效性分析

根據度指標、介數指標、緊密度指標和特征向量指標對圖1所示作戰體系節點重要性的度量結果，對作戰體系進行攻擊實驗，并對最大連通分支的大小（S）和平均路徑長度（L）隨刪除節點比例f的變化情況進行了仿真分析，進而對作戰體系中重要性指標的有效性進行分析。

作戰體系受到攻擊分裂成多個連通分支，勢必引起最大連通分支大小的降低。因此，可以從f增大時，S下降的速度說明重要性指標的有效性。從圖2可以看出，在 f從0增大到0.62的過程中，根據介數指標的度量結果刪除節點，S下降的速度要快于度指標、緊密度指標和特征向量指標；在f從0.62增大到1的過程中，根據度指標和介數指標的度量結果刪除節點，S下降的速度基本相同，且均快于緊密度指標和特征向量指標。這說明在對作戰體系中節點重要性進行度量時，介數指標的有效性要好于度指標、緊密度指標和特征向量指標。

圖2 S隨 ff的變化情況

作戰體系受到攻擊的初期，最大連通分支的大小相比整個作戰體系節點數目來說較大，攻擊發生后去掉了一些關鍵節點導致某些關鍵路徑也從作戰體系中去掉，影響了節點間通信的平均路徑長度，確切說是增大了平均路徑長度；然而隨著攻擊的增加，最大連通分支越來越小，即作戰體系被分成了許多獨立的小的連通分支，而這時最大連通分支的平均路徑長度會變小。因此。可以從 f增大時，L增大和下降的速度說明重要性指標的有效性。從圖3（a）、（b）可以看出，在 f從0增大到0.04的過程中，根據度指標、介數指標、緊密度指標和特征向量指標的度量結果刪除節點，L增大的速度基本相同；在f從0.04增大到1的過程中，根據介數指標的度量結果刪除節點，L開始減小，而根據度指標、緊密度指標和特征向量指標的度量結果刪除節點，L繼續以基本相同的速度增大，分別在f等于0.40、0.33和0.32時開始下降。根據介數指標的度量結果刪除節點，L不僅開始減小的時間要早于其他指標，而且減小的速度也快于其他指標。同樣說明在對作戰體系中節點重要性進行度量時，介數指標的有效性要好于度指標、緊密度指標和特征向量指標。

4 結束語

根據作戰體系最大連通分支的大小和平均路徑長度隨刪除節點比例的變化情況仿真分析的結果表明，在對作戰體系中節點重要性進行度量時，介數指標的有效性要好于度指標、緊密度指標和特征向量指標。利用這一指標，可以準確、快速地判斷作戰體系中的關鍵節點，既可以對敵方作戰體系實施精確打擊，破壞其作戰效能的生成和聚合，從整體上使其快速癱瘓；又可以在面臨敵方精確打擊時，對己方作戰體系中的關鍵節點進行重點防護，保證其作戰能力的有效發揮，達成“消滅敵人，保存自己”的目的。

[1]National Research Council. Network Science[M].The National Academies,2005.

[2]嚴正峰. 海軍戰役作戰體系研究[D].南京:海軍指揮學院,2007.

[3]汪小帆,等. 復雜網絡理論及其應用[M].北京:清華大學出版社,2006.

[4]王林,張婧婧. 復雜網絡的中心化[J].復雜系統與復雜性科學,2006(3):13-20.

[5]Albert R, Jeong H, Barabási A L. Attack and error tolerance in complex networks[J].Nature,2000,406: 387-482.