把握概念本質設計教學提問

桂 華

中位數與眾數是統計與概率中新增的教學內容，在日常聽課中發現許多教師往往把教學重點放在它們的定義和求法上，而對其在統計學上的意義和作用很少提及。因此，常常出現學生學習后會說什么是中位數與眾數；會求中位數與眾數，卻不能很好根據生活實際選擇和運用。在教學中如何把握住中位數與眾數是一種反映一組數據集中趨勢的統計量的本質進行教學?如何將算法的理解與統計學水平的理解整合起來?關鍵是要抓住這些概念作為統計量的本質含義設計教學和提問。現將“秀峰課堂”活動中對北師大版五年級下冊的《中位數和眾數》進行的前后兩次教學實踐片段進行比較與分析。我們會對這點可能有更為直觀的認識。

片段一：為什么學習中位數與眾數

[原教學]

小王看到一則招聘廣告：

“大地超市工作人員月平均工資1000元，現招工作人員，有意者請面談!”(見表1)

仔細觀察表1，你發現了什么?

教師概括得出結論：因受兩個極端數據的影響，平均數1000不能真實地反映超市工作人員的月工資水平。

[調整后的教學]

學校隨機抽了五(1)和五(2)班各11名同學進行跳繩比賽。要知道哪一組的跳繩水平高，怎么辦?

1.根據統計跳繩的個數，算出平均數(四舍五入)。

五(1)班平均數101個；五(2)班平均數100個。

結論：五(1)班水平高。

2.下面是兩組的跳繩成績情況(見表2、表3)：

你現在的想法還和剛才一樣嗎?為什么?

平均數表示的是什么水平?(平均水平)分別有多少個人達到了這個水平呢?為什么會這樣呢?(引出中位數和眾數。)

[思考]中位數和眾數是在現實需要的基礎上產生和學習的統計量。因此必須把中位數和眾數放在有意義的現實情景中進行教學。教師設計的看廣告找工作的問題情景。雖有其可取之處。但“平均數代表的是怎樣的水平?”“應該尋找怎樣的數據來代表這組數據水平呢?”其意義的“聯結點”對學生而言是很難直接建立的。我們把備課的焦點落到平均數、中位數與眾數是一種反映一組數據集中趨勢的統計量的本質上。在調整后的教學設計中，讓學生比較兩組跳繩水平高低的情景，該設計不僅貼近學生的生活實際和認知水平，更為重要的是凸顯了平均數作為統計量的意義。為學生理解中位數和眾數也是一種統計量的學習埋下了伏筆。精心設計的兩組跳繩數據讓學生一眼便可以看出實際上是五(2)班的跳繩水平高，與原有認知產生了矛盾。教師并沒有急于讓學生去尋找用哪個數來表示他們的跳繩水平，而是設計了幾個提問：平均數101或100表示的是什么水平?有多少個人達到了這個水平呢?為什么會這樣呢?引發學生對平均數不能代表跳繩水平問題的深入思考，體驗到平均數、中位數和眾數概念的本質：它們都是用來表示一組數據的集中趨勢，哪種特征數能代表這組數據的絕大多數。就選用它來說明、評價、分析實際問題。幫助學生建立起了尋找新的數據來代表這組數據水平的“聯結點”，解決了教學的難點。

片段二：什么是中位數與眾數

[原教學]

1.你想用哪個數來表示工作人員月工資水平呢?

(請大家觀察這些數據的特點，小組討論交流，說說你們的意見。)

2.講解中位數和眾數。

學生有多種方法，當學生匯報出取中間那個數650，老師馬上給予肯定，并請同學們取一個名字叫中位數，解釋將一組數據從小到大或從大到小排列。中間的數稱為這組數據的中位數。眾數教法同上。

這三個數都表示這組數據的特征。但是作為應聘者，你們應該關注哪個數據更合適呢?

3.引導學生在練習中發現問題，進一步探究中位數和眾數。

[調整后的教學]

1.你想用哪個數來表示五(1)班同學的跳繩水平?你是怎樣想的?

(學生說，教師記錄學生的數據。)

除了平均數外，數學上還有兩種統計量可以表示一組數據的特征，那就是中位數和眾數。

2.初步認識中位數和眾數。

①引導學生抓住“中位”和“眾”字與剛才的情景相結合，讓學生自己得出什么是中位數和眾數。

②找出兩個班跳繩成績的中位數和眾數。

3.思考：①這三個數都可以表示一組數據的特征，要比較這兩組同學的跳繩水平，你會選用哪種數?

②如果要用平均數表示這兩組數據特征，你會對這兩組數據分別做怎樣的改動?數據變動后，中位數和眾數有什么變化嗎?

4.質疑。大家初步了解了這兩個數據，你對這兩種數還有什么疑問嗎?

和全班同學一起來研究解決：①遇到一組數據個數是偶數的數列怎么找中位數?②出現多個重復的數據而且重復次數一樣的，怎么確定眾數?

[思考]兩次教學教師沒有直接給出中位數和眾數的概念，而是讓學生在觀察、分析、討論的基礎上逐步得出。但第一次教學教師關注的是引出中位數和眾數，對學生提出的常用方式：例如去掉極端數求平均數的方法沒有給予肯定，老師精心設計的幾組數據，看似以學生為主體的教學設計，但猶如一道道陷阱牽制著學生的思維。調整后的教學，教師對學生提出想用哪個數來表示跳繩水平給予記錄，并對好的方法及時肯定。接著用規范的語言告訴學生：數學上還有兩種統計量可以表示一組數據的特征，那就是中位數和眾數。明確點出了其統計學的意義。再讓全班學生在具體情景中去尋找和理解。特別是其中的提問：“眾數說明的是一種什么現象?中位數能反映什么情況?”引導學生從“數據的代表”本質意義上去理解中位數和眾數。在進一步探索中位數和眾數時僅用了一個簡單的問題：你對這兩種數還有什么疑問嗎?激起了學生思維的漣漪。我們在設計中也有顧慮，學生能提出問題嗎?然而在實際教學中，學生雖不會用規范的語言描述：“遇到一組數據個數是偶數的數列怎么找中位數?”但仍是那樣的精彩。“萬一是1、2、3、4、5、6、7、8怎么找中間哪個數呢?”……簡單的提問給了學生更大的思維空間，促使學生自主地圍繞“中位數和眾數”的概念去思考。為了能讓學生進一步體驗平均數、中位數和眾數各自的特點，我們還設計了讓學生改變數據使平均數能很好地代表跳繩水平的教學環節，讓學生體驗到平均數的大小與一組數據里的每個數據均有關系，其中任何數據的變動都會相應引起平均數的變動。中位數則僅與數據的排列位置有關，某些數據的變動對它沒有影響；眾數著眼于對各數據出現的頻數的考察，其大小只與這組數據中的部分數據有關。

從上述的教學片段比較分析中，我們可以看到調整后的教學始終從平均數、中位數和眾數的概念本質進行教學的設計和提問，取得了很好的教學效果，絕大部分學生不僅能很好根據問題選擇和運用平均數、中位數和眾數，并能用自己的語言從統計量的意義來闡述理由。

(責編林劍)