再談數學教學思維的差異

提出問題

數學教學思維是數學教師對數學教學活動(過程)的理性認識，是數學教師和數學教學對象(教材、學生等)交互作用的內在理性活動，是數學知識的學術形態轉換為教育形態的意識與能力。拙文結合兩個教學片段，通過分析兩位數學教師在磨課過程中對同一教學環節的不同處理，挖掘其內在的數學教學思維深刻性、邏輯性、批判性三方面的差異。最近，筆者聽聞了兩位數學教師對《一元二次不等式的解法》這一課例的教學設計的討論，現結合該課例從數學教師將數學知識的學術形態轉換為教育形態的意識和能力這兩方面再談數學教學思維的差異，并對這種差異進行反思和小結。

課例呈現

某數學教師甲要參加學校的教學比武，課題是《一元二次不等式的解法》。她主要的教學設計為先復習一元一次不等式的解法，引入一元二次不等式。接著先讓學生討論一元二次不等式的解法，讓學生嘗試運用分類討論法進行求解。再接著復習一元二次函數的相關知識，介紹運用數形結合法來求解一元二次不等式。最后讓學生運用數形結合法解一元二次不等式，通過練習，鞏固方法。備完課后，甲老師拿給教學經驗豐富、教學思維水平和能力較高的乙老師看，找出需要進一步改進的地方。乙老師看后，提出了下面兩個問題：1.為什么要引入一元二次函數來解一元二次不等式?2.如何引入一元二次函數?甲老師經過乙老師的提問。意識到在教學中確實需要引導學生認識到引入一元二次函數來解一元二次不等式的必要性，但對于如何引入一時還未能找到很好的答案，只能繼續向乙老師請教。

乙老師解釋道如果一元二次不等式相應的一元二次方程有兩個根時，學生可以通過先因式分解，再分類討論的方法解此不等式。而如果一元二次不等式相應的一元二次方程沒有根時，學生無法進行因式分解，也就意味著必須尋找新的方法來解一元二次不等式，這也是我們要引入一元二次函數來解一元二次不等式的重要原因。而此時新方法還羞答答的沒有揭開它神秘的面紗，學生往往又會“病急亂投醫”，誤認為一元二次方程無解必然導致相應的一元二次不等式也無解，學生的這一認識誤區恰好就是我們引入一元二次函數的出發點。此時我們要引導學生通過反思不等式根的定義認識到自己的解答是錯誤的，進而通過一一尋找這種不等式的根的過程，使學生體會其中所蘊含的運動變化，繼而聯想到初中函數的定義，從而順利地引入一元二次函數。

分析差異

1.將數學知識的學術形態轉換為數育形態的意識的差異

從上例我們可以看到，甲老師根本就沒有考慮為什么要引入一元二次函數。也即沒有意識到引人一元二次函數的必要性。僅僅是就知識論知識，將教材上的方法一一介紹給學生。沒有考慮教材上為什么要這樣處理，為什么要用這種方法；僅僅看到了問題的表面，而沒有抓住問題的本質；僅僅知其然而不想知其所以然。而乙老師在教學設計時不僅僅是圍繞教材中的教學內容展開教學，更考慮到了這些內容的來龍去脈；不僅僅關注數學知識的學術形態，更具有將數學知識的學術形態轉換為教育形態的意識。這些表明甲、乙兩位數學教師將數學知識的學術形態轉換為教育形態的意識存在差異。

2.將數學知識的學術形態轉換為教育形態的能力的差異

從上例我們又可以看到，即使甲老師經過乙老師的提醒也意識到在教學中確實需要引導學生認識引入一元二次函數的必要性，但未能想到具體的教學設計。而乙老師卻能從學生的角度出發，認識到學生能利用先因式分解再分類討論的方法解決一類一元二次不等式，但這種方法具有局限性、接著利用這一局限性，讓學生產生認知沖突，從而使學生意識到有必要尋找新方法，引起學生極大的學習興趣。接下來尋找新方法的教學設計緊扣初中函數定義中的運動變化這一核心，通過一一尋找不等式的解的過程，滲透運動變化的思想，從而自然的引入函數。這樣的教學設計環環相扣、步步深入、循序漸進，讓學生經歷了數學知識發生、發展的全過程，使學生體會到了鮮活的數學思想，幫助學生順利實現新知的內化，鍛煉了學生的數學思維能力。這些表明甲、乙兩位數學教師將數學知識的學術形態轉換為教育形態的能力也存在差異。

反思小結

1.差異產生的原因

通過以上的分析，我們不禁要問：為什么不同的數學教師在將數學知識的學術形態轉換為教育形態的意識和能力存在差異呢?我覺得主要與數學教師對數學和教學的認識和理解的深度有關。不同的數學教師有不同的數學觀、教學觀、學生觀，不同的數學專業功底，不同的數學理論修養，不同的數學視野等等。這些差異必然導致將數學知識的學術形態轉換為教育形態的意識和能力的差異。

如果我們把數學僅僅理解為運用教材中提供的方法進行計算或證明，而沒有認識到數學是有靈魂的，前后知識之間是一脈相承、相互聯系、和諧統一的，那在教學設計時只能是照本宣科，不可能意識到需要考慮諸如上例中所提到的“為什么要引入一元二次函數來解一元二次不等式?”如果我們把教學僅僅理解為將教材中的知識傳遞給學生，而不能尊重教學規律、考慮學生的認知基礎和思維水平，我們的教學就無法深入到學生的內心深處，無法準確定位教學目標、教學重點和難點，也就更談不上找到有效的途徑去突出重點，突破難點。這在上例中就會表現為無法設計出從學生的認知沖突出發，自然地引入一元二次函數。

2.縮小教學思維差異的途徑

意識決定物質，數學教學思維的差異將直接導致數學教學行為的差異，也就導致了數學教學效果的差異。教育領域中許多現象表明：在數學家與數學教師、教學平庸的數學教師與優秀的數學教師之間確實存在著一種與數學教學思維有關的意識與能力上的差異。既然差異是客觀存在的，那我們數學教師首先要做的就是正視它的存在，不要自欺欺人；其次要加強自身的理論學習，通過學習，提升自身的數學修養，拓寬自身的數學視野，樹立正確的數學觀、教學觀及學生觀；再次理論結合實際，大膽實踐，努力創新，在實踐中加深對理論的理解和把握；最后要多與別人交流，這里的別人既有其他數學教師更包括我們的學生!我們既要學習其他數學老師的優點，更要從學生的反饋中找到自己的不足，而且后者還更為重要，因為所有的教學都是為他們服務的，離開他們將毫無意義!

俗話說“不怕不識貨，就怕貨比貨”，因此，作為數學教育者，要善于從自己與他人的教學效果的差異中找到數學教學思維的差異，并通過研究這些差異，找到自身的不足，明確前進的方向，不斷提高自身數學教學思維的能力!

參考文獻：

[1]潘穎昕，倒談數學教學思維的差異，吉林教育2008，(8)

[2][美]D.A.格勞斯，數學教與學研究手冊，上海教育出版社，1999

[3]唐瑞芬等，數學教師培養中的兩個問題，天津：數學教育學報，1999，(2)