主次\\聯系\\破立之間的和諧智慧

本人執教《雞兔同籠》一課，在市數學優質課比賽中獲得了一等獎。從定下教材、試教、到定稿，整整經歷了九次修改與磨礪。最終解決了三大難題，正如珠蚌孕育珍珠一般，在痛苦與迷茫后，收獲了三顆閃亮的“珍珠”——在課堂中綻放主次、聯系、破立之間的和諧智慧。

接下來，就遇到的三大難題以及在解決過程中收獲的三顆“珍珠”以實錄的形式，一一向大家加以闡述，敬請指正。

一、花開四朵、單表一枝

問題:如何面對多樣的教材和參差的學情?

人教版 蘇教版

教材:在選定內容后，我就開始翻閱各種不同版本的教材，發現不同版本的教材對解決雞兔同籠方法各有側重。北師大版的教材以介紹列表法為主;人教版的教材主要介紹列表和方程法;蘇教版的教材則主要介紹畫圖和列表。

學情:通過初次試教，了解到學生課前對雞兔同籠問題也并非一無所知，有一部分在奧數班學習中已掌握了用假設法解，也有個別能用方程的方法解，原來沒有基礎的學生也會通過自己動腦筋湊出正確答案。

不同的教材和參差的學情，使教學設計曾一度陷入了困境，讓我不得不重新審視教材、揣摩學情，找尋理想的教學支點，以期能夠在教材的“主”方法和學生的“眾”方法之間找到平衡。經過慎重考慮和多次實踐，最后解決了這一問題，孕育出了第一顆珍珠——“花開四朵，單表一枝”

【實錄】:

“花開四朵”

今有雞兔同籠，上有10頭，下有28足，問雞兔各幾何?

師:我們來試試，看能不能通過自己的努力求出雞、兔各幾只?有困難的同學可以與邊上的同學討論。

生:(獨立做)

師巡視，找不同的解題方法，讓學生寫在黑色卡紙上。

師:我們班的同學真不錯，想了很多辦法解決這個雞兔同籠問題。我們一起來欣賞一下。

展示第一種方法:

(10×4-28)÷(4-2)=6只 10-6=4只

生:(解釋)

(28-10×2)÷(4-2)=4只 10-4=6只

生:解釋

師:你們這種方法是在哪里學的?

生:奧數班。

師:知道叫什么方法嗎?

生:假設法。(板書:假設)

師:同學們，我們來檢驗一下你們的答案是不是正確。怎么檢驗?

生:看看腳是不是28只。

師:好。2×6+4×4是不是28只呢?

生:是的。

展示第二種方法:(畫圖)

師:請這位同學解釋一下。

生:這些是10個頭，然后先在每個頭下面畫上2只腳，這樣就都成了雞，而腳只有20只，說明還要添上8只腳，就2只2只添上去……結果也是兔4只，雞6只。

師:畫圖是一種好辦法，當我們遇到問題不知道從哪里下手的時候就可以畫圖。當然我們可以畫得更簡潔美觀一些。

展示第三種方法:(方程法)

2×()+4×(10- )=28

生:如果第一個()填2，那么第二個就是(10-2)，這樣去試。最后我知道了，雞6只，兔4只時正好等于28。

師:很好，這也可以看成是方程。

展示第四種方法:6+28=34 8+24=32 10+20=30 12+16=28雞6只，兔4只

生:我是在算腳的只數，算到第四次的時候發現對了。

師:如果把他的這種思想方法列在表格里，就是我們今天重點要研究的列表法了。同學們，接下來我們就來研究列表法。(板書:列表)

“單表一枝”

在教材的主方法上，北師大版、蘇教版、人教版教材不謀而合——其中都介紹了列表法。列表法蘊含了豐富的數學思想，且充分地體現了不同學生學習不同的數學。人教版推薦方程法，并將這一內容安排在六年級上冊學習用方程解決問題之后，具有達到鞏固用方程解決問題的用意。斟酌再三，本課以北師大版教材為主，其他教材為輔，單表列表法這“一枝花”。(詳見教學實錄片段)

探索列表法:

今有雞兔同籠，上有10頭，下有28足，問雞兔各幾只?

1.第一次列表

師:出示

師:我們可以從雞有幾只開始?

生:雞1只，兔9只，腳有38只。

師:然后雞……

生:然后就雞2只，兔8只，腳36只。雞3只，兔7只，腳有34只。……

師:怎么共有幾只腳，算得這么快呢?

生:雞每增加一只，兔就減少一只，腳數就會減少2只。

師:很棒。雞每減少一只，兔每增加一只，腳數就會……?

生:會增加2只。

師:好，那我們接著往下寫。

師:很能干，最后湊到了腳數是28只。讓我們數一數，假設雞1只，兔9只，總共算了幾次腳數。

生:6次。

師:這個效率好像不是很……

生:效率不高。

師:那讓我們一起來動動腦筋，看有沒有提高效率的方法。

生:開始的時候假設是雞5只，兔5只，腳有30只。雞6只，兔4只，腳就是28只。

師:哦?!對半分。你一下就到了這里，再調整一次就成功了。對半分，好辦法。

師:命中率真高。但是這有一個問題，如果在雞5只，兔5只，腳有30只之后，我朝著相反的方向去湊，雞4只，兔6只去想，那么豈不是南轅北轍啦，越走越遠啦?

生:當你看到，腳數太多時就是兔要減少，腳數太少就是兔要增加。

師:太棒了，原來還有竅門的。還有誰也知道這個竅門呢?

生:腳數太多時就是兔要減少，腳數太少就是兔要增加。

2.《孫子算經》中歷史名題

師:大家都來施展一下自己的數學才華，同桌兩人合作用列表的方法做做這道歷史名題。看看，在做的過程中，能不能找到更好的方法提高命中率。

生(用列表法解)

今有雞兔同籠，上有35頭，下有94足，問:雞、兔共幾何?

師展示學生的作業紙。

師:他是調了7次，得到了正確答案。有沒有比他少的?拿上來展示，并說出你比他高明在什么地方。

生2:

生2:我想106只腳和94只腳相差比較大，所以雞兩只兩只增加。

師:很好，確實次數也少了。還有更少的嗎，說出你又是高明在哪里?

生3:

生3:106只腳和94相差12只腳，說明雞要增加6只。

師:她高明就高明在提高了計算的含量。

師:我們班的同學太厲害了，不管先假設有幾只雞和兔，最后都能經過調整，得出正確答案，而且還發現了這么多可以提高列表法效率的好竅門。

閃光之處:

如果說“花開四朵”是順應學情，充分展示學生的各種解決方法，那么“單表一枝”則是對學生已有水平的提升，是面對多樣教材的一種選擇。所以說“花開四朵，單表一枝”是針對參差的學情和多樣的教材找到的一個平衡。

而其中“單表一枝”更蘊含了設計者的匠心。怎樣用好列表法，是這節課的難點所在。如何讓學生抽絲剝繭自己“悟”到其竅門所在，是我們設計者最期望達到的教學效果。從以上“單表一枝”的實錄中，我們不難發現教師的幾個(黑體)關鍵問句，巧妙地讓學生悟出列表法的幾大竅門。

二、溝通聯系，渾然一體

問題:各種方法像盤散沙，自成一家。

各種方法的較好展現固然是好，但是各種方法就如它們的名稱一樣，都自成一家。難道它們真的是幾種完全不搭界的方法?還是也有一些共性存在，我試圖去尋找它們的聯系。在找尋中收獲了第二顆珍珠——“溝通聯系，渾然一體”

【實錄】:溝通方法間的聯系

師:同學們，現在讓我們回過頭，來認真地研究一下這幾種方法，看看能不能找到它們之間的聯系。

師:如果有用這種方法湊腳數的話，它是有方程的思想在里面的，(板書:方程)好，同學們仔細研究一下，這幾種方法的聯系。

生:畫圖法和假設法是同一種方法。

師:這兩種方法一起看的話，在數學里是很重要的思想，叫數形結合。

生:方程和列表是同一種方法。

師:說的很好。再仔細看看，這幾種方法是不是有同樣的思想存在呢?

生:都是有假設思想。

師:說的太好了!只是有的是假設后，一步到位，有的是假設后慢慢調整。接下來我們要去解決問題，到底選擇哪種方法，就看自己的喜歡。

閃光之處:

從教方法到教思想，是一種不同的境界和高度。在這個環節中，教師創設平臺讓學生去領會方法中蘊含的思想。學生容易找到畫圖法和假設法，不定方程法和列表法它們兩兩相似，而且思想幾近一致。但教學并沒有止步于此，而是讓學生更進一步找這四種方法共同存在的思想——假設。將來學生或許會忘卻具體的解決方法，但是只要想到假設思想，就定能解決雞兔同籠問題。

三、破立之間，建構模型

問題:如何能讓學生有較強的解決生活中雞兔同籠問題的能力?

其實會解決雞兔同籠這個歷史名題并不難，難的是:能夠解決各種由雞兔同籠變式出來的生活問題。而學習雞兔同籠問題的一部分價值也正在于此，如何能讓學生擁有這樣的能力呢?于是就有了第三顆珍珠——“破立之間，建構模型”

“立”基本模型

【實錄】:

1.初建模型

師:龜鶴共11只，腳共32只。問龜幾只?鶴幾只?

你能解決嗎?試試。

生:(獨立解決)

師:說說，龜鶴各幾只，你是用什么方法做的?

生:龜是5只，鶴是6只。用畫圖法的……

生:龜是5只，鶴是6只。用列表法的……

師:為什么大家都用解決雞兔同籠問題時的方法來解決這個問題呢?

生:它和雞兔同籠是一樣的。雞和鶴都是2只腳，兔和烏龜都是4只腳的。

師:其實，雞兔同籠從中國傳到日本，日本人才改名為“龜鶴問題”的。如果現在給你們一個重新取名的機會，你會取名為什么呢?

生:鴨貓問題……

師:雖然大家取的名字聽起來有些可笑，但是從數學的角度看，都抓住了問題的本質特征，在腦子里，初步建立了這類問題的模型。

“破”基本模型

2.完善模型

師:生活中也有類似的問題，請看這是什么?(課件:四副照片，由學生自主選擇看照片，然后引出相關的題)

師:12張乒乓球桌上同時有34人在比賽。正在進行單打與雙打的球桌各有幾張?是雞兔同籠問題嗎?

生:是雞兔同籠問題。

生:12張乒乓球桌就是12個頭，34人就是34條腿。單打就是雞，雙打就是兔子。

師:小明的儲蓄罐里有12張2元、5元的紙幣共30元。2元紙幣有幾張?5元紙幣有幾張?是雞兔同籠問題嗎?

生:是的。12張就是12個頭，30元就是30只腳，2元紙幣就是雞，5元紙幣就是5只腳的怪兔。

生:58名同學去劃船，租了10條船，每條大船坐9人，每條小船坐5人。問大船要幾條?小船要幾條?

師:這是雞兔同籠問題嗎?你是怎么想的?

生:10條船就是10個頭，58名同學就是58條腿，大船相當于9條腿的怪兔，小船相當于5條腿的怪雞。

師:在這個活動中，把生活中的問題與雞兔同籠問題建立了聯系，大家發揮了很強的想象力，甚至想象出了5條腿的怪兔，3條腿的怪雞。說明大家頭腦中的模型越來越清晰、完整。那么選擇其中的一題進行解決吧。

生:(獨立解決)

師:校對

再現模型

3.再現模型

師:能不能編編生活中雞兔同籠問題呢?

生編在作業紙上，師展示。

閃光之處:

從取名——初建模型，到和歷史名題建立聯系——完善模型，最后編雞兔同籠問題——再現模型，是循序漸進的過程。在其間，初建模型是“立”基本模型，完善模型環節則是“破”基本模型，建更完整的模型。“破與立”之間，模型更完善與深刻，使“建立模型，由點及面”這顆珍珠更熠熠生輝。

結束語:

磨課的過程是痛苦的，迷茫中曾想過放棄，但最終還是堅持了，就如同珠蚌孕珠，在堅持中體驗了痛苦、學會了包容，在堅持中收獲了智慧，也在堅持中獲得了圓潤光潔的“珍珠”。

作者單位:浙江省金華市東苑小學