“有向距離”公式的推廣與應用

眾所周知，我們通常所說的“距離”是非負的，像角的概念的推廣一樣，在高中階段，當引入了正角、負角和零角以后，許多有關角的問題(含運算)就顯得非常簡單易行了，也避免了一些較繁雜的運算。在解析幾何中，沿用了平面幾何中的許多概念，“距離”就是其中一個，本文試圖對我們通常所說的距離加以推廣，即對“有向距離”作一描述，請同仁不吝賜教。

定義1:平面內一點P(x0，y0)到一條直線l:Ax+By+c=0的有向距離為:d=。

定義2:平面內兩條平行直線l1:Ax+By+c1=0，l2:Ax+By+c2=0之間的有向距離為:d=。

事實上，這兩個定義只是在傳統點到直線、平行直線間的距離公式里去掉絕對值“||”符號而已，但在解決一些問題中起到了獨特的作用，現舉例說明如下。

例1 已知一正方形的中心為P(2，1)，一邊所在的直線方程為3x-4y+5=0，求這個正方形其他各邊所在直線的方程。

解 依題意可設其他三邊所在直線的方程為3x-4y+c1=0，4x+3y+c2=0，4x+3y+c3=0

由正方形性質可知:3×2-4×1+5+3×2-4×1+c1=0，∴c1=-9。

4×2+3×1+c2=3×2-4×1+5，∴c2=-4。

4×2+3×1+c2+4×2+3×1+c3=0，∴c3=-18。

∴所求的三條邊所在直線方程為3x-4y-9=0，4x+3y-4=0，

4x+3y-18=0。

例2 已知在三角形ABC中，A(1，2)，B(3，4)，C(2，-1)，求△ABC中∠A的內角平分線所在的直線方程。

解 ∵直線AB的方程為:=，即:x-y+1=0。

直線AC的方程為=，即:3x+y-5=0。

點C的坐標代入x-y+1得:2-(-1)+1>0。

點B的坐標代入3x+y-5得:3×3+4-5>0。

∴設∠A的內角線上一點的坐標為P(x，y)，則點P到直線AB、AC的“有向距離”相等。

∴=即:(3-)x+(1+)y-5-=0。

這就是∠A的角平分線所在直線的方程。

例3 已知一直線l經過點P(1，2)且到點A(-2，1)、B(4，7)的距離相等，求直線l的方程。

解法一 若直線l的方程為x=1，則它到點A，B的距離為3，故符合題意。

若直線l的方程為y-2=k(x-1)，則k=kAB==1。

∴直線l的方程為x-y+1=0。綜上所述，所求直線l的方程為x-y+1=0或x-1=0。

解法二 可設直線l的方程為y-2=k(x-1)，

∴(-2-1)k-1+2=(4-1)k-7+2或(-2-1)k-1+2+(4-1)k-7+2=0。

∴k=1或-4=0。∴k=1或k不存在。

綜上所述，所求直線l的方程為y-2=(x-1)，即x-y+1=0或x-1=0。

由上述可知，利用點到直線、直線與直線間的“有向距離”公式去求解有關數學問題，會收到事半功倍的效果，這還可以拓展到三維或以上的坐標空間去分析、討論與運用。◆(作者單位:江西省信豐縣正平中學)

□責任編輯:周瑜芽