例談含絕對值不等式的解法

在學習如何解含絕對值不等式時，有的同學被各種各樣的方法弄得頭暈腦轉，解含絕對值不等式的基本思路是去掉絕對值符號，使不等式變為不含絕對值符號的一般不等式，而后，其解法與一般不等式的解法相同。因此掌握去掉絕對值符號的方法和途徑是解題關鍵。下面就總結了一些常見的不等式的解法:

一、六類絕對值不等式的解法

1.形如f(x)a(aR)型不等式

此類不等式的簡捷解法是等價命題法，即:

①當a>0時，f(x)af(x)>a或f(x)<-a;

②當a=0時，f(x)af(x)≠0

③當a<0時，f(x)af(x)有意義。

例1 解以下不等式:

(1)2x2-3>5(2)3≤8-x-x2

(3)-1≥-2 (4)<-1

解略

2.形如f(x)

此類不等式的簡捷解法是利用平方法，即:

f(x)

例2 解不等式x-1>2x+3。解略

3.形如f(x)g(x)型不等式

這類不等式的簡捷解法是等價命題法，即:

①f(x)

②f(x)>g(x)f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)

例3 解下列不等式:(1)x+1>2-x

解:(1)原不等式等價x+1>2-x或x+1<-(2-x)

解得x>或無解，所以原不等式的解集是{x|x>｝。

4.形如aa>0)型不等式

此類不解等式的簡捷解法是利用等價命題法，即:

aa>0)a

例4 解不等式3<2x-3<5。解略。

5.形如f(x)f(x)型不等式

此類題的簡捷解法是利用絕對值的定義，即:

f(x)

f(x)>f(x)f(x)<0。

例5 解不等式>。解略。

6.形如f(x)+g(x)h(x)型不等式

此類題的簡捷解法是利用等價命題法轉化，即:

f(x)+g(x)

f(x)+g(x)>h(x)f(x)+g(x)>h(x)或f(x)-g(x)>h(x)

例6 解不等式x+2+x-2<12。解略。

二、幾點注意事項

1.根據絕對值的定義，x>c(c>0)轉化為兩個不等式，這兩個不等式的關系是“或”而不是“且”，因而原不等式的解集是這兩個不等式解的并集，而不是交集。

2.xc(c>0)的解集公式要牢記，以后可以直接作為公式使用。但要注意的是，這兩個公式是在c>0時導出的，當c≤0時，須另行討論，不能使用此公式。

3.解不等式問題與集合運算有著緊密的聯系，在應用與集合有關內容處理絕對值不等式的過程中，要注意在不等式組的解集中，對不等式端點值的取舍情況。另外，因為已學習了集合表示法，所以不等式的解集要用集合形式盡量不使用不等式的形式。

4.解含有絕對值的不等式的關鍵是把含絕對值符號的不等式轉化為不含絕對值符號的不等式，然后再求解，但這種轉化必須是等價轉化，尤其是在用平方法去掉絕對值符號時，一定要注意兩邊非負這一條件(若兩邊都非正，平方后改變不等式方向)，否則就會擴大或縮小解集的范圍。

5.要學會靈活運用分類討論思想、數形結合思想、等價轉化與化歸思想方法來處理絕對值不等式的問題。

三、典型例題

例1 關于x的不等式kx-1≤5的解集為{x|-3≤x≤2｝，求k的值。

思維點撥 按絕對值定義直接去掉絕對值符號后，由于k值的不確定，要以k的不同取值分類處理。

解 原不等式可化為-4≤kx≤6。

當k>0時，進一步化為-≤x≤，依題意有-=-3，=2，k=，k=3。此時無解。

當k=0時，顯然不滿足題意。

當k<0時，≤x≤-，依題意有-=2，=-3，k=-2。

綜上所述，k=-2。

例2 解不等式x-1

思維點撥 由于兩邊均為非負數，因此可以兩邊平方去掉絕對值符號。

解 由于x-1≥0，x+a≥0，所以兩邊平方后有:

x-12

即有x2-2x+11-a2。

當2a+2>0即a>-1時，不等式的解為x>(1-a);

當2a+2=0即a=-1時，不等式無解;

當2a+2<0即a<-1時，不等式的解為x<(1-a)?！?作者單位:江西省南昌縣蓮塘第二中學)

□責任編輯:周瑜芽