例談導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

導(dǎo)數(shù)在高考中的地位相當(dāng)重要。其考點(diǎn)包括:導(dǎo)數(shù)的概念及幾何意義、以導(dǎo)數(shù)為工具研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等。

從命題的發(fā)展趨勢(shì)看，導(dǎo)數(shù)高考將進(jìn)一步圍繞三個(gè)層次來考。(1)考查導(dǎo)數(shù)的概念，求導(dǎo)公式和法則;

(2)導(dǎo)數(shù)的簡(jiǎn)單運(yùn)用，包括求函數(shù)的極值，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，證明函數(shù)的增減性等;

(3)綜合考查，包括解決應(yīng)用問題，將導(dǎo)數(shù)內(nèi)容與傳統(tǒng)內(nèi)容中有關(guān)不等式和函數(shù)的單調(diào)性等有機(jī)地結(jié)合在一起，設(shè)計(jì)綜合試題。下面通過例題談?wù)剬?dǎo)數(shù)在這些問題當(dāng)中的應(yīng)用。

一、導(dǎo)數(shù)在求函數(shù)的極值、最值、單調(diào)性的應(yīng)用

導(dǎo)數(shù)為我們研究函數(shù)的性質(zhì)(單調(diào)性、極值、最值)提供了一個(gè)非常便捷的工具和方法。

例1 已經(jīng)函數(shù)f(x)=(xR)，其中aR。

(I)當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=f(x)在點(diǎn)(2，f(2))處的切線方程;

(II)當(dāng)a≠0時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值。

分析 此題先求原函數(shù)的導(dǎo)數(shù)再令導(dǎo)數(shù)為0解出相應(yīng)的極值點(diǎn)，然后根據(jù)極值的定義判定該點(diǎn)是否為極值點(diǎn)。本題還要注意對(duì)a的討論。

解 略

二、導(dǎo)數(shù)在不等式中的應(yīng)用

例2 設(shè)a≤0，f(x)=x-1-ln2x+2alnx(x>0)。

(I)令F(x)=xf′(x)，討論F(x)在(0，+∞)內(nèi)的單調(diào)性并求極值;

(II)求證:當(dāng)x>1時(shí)，恒有x>ln2x-2alnx+1。

分析 此題要證明的不等式x>ln2x-2alnx+1是由已知函數(shù)

f(x)>0變形而來。所以證明此不等式，我們無(wú)需構(gòu)造新的函數(shù)，只需要通過研究已知函數(shù)f(x)=x-1-ln2x+2alnx的單調(diào)性，就可以使結(jié)論獲證。

解 (I)略

(II)對(duì)f(x)求導(dǎo)得:f′(x)=1-+，x>0，

故F(x)=xf′(x)=x-2lnx+2a，x>0，

于是F′(x)=1-=，因?yàn)閤>0，所以，當(dāng)x=2時(shí)，F(xiàn)′(x)=0。

因?yàn)閍≥0，所以F(x)的極小值F(2)=2-2ln2+2a>0。

不難求得，對(duì)一切x(0，+∞)，恒有F(x)=xf′(x)>0。

從而當(dāng)x>0時(shí)，恒有f′(x)>0，故f(x)在(0，+∞)內(nèi)單調(diào)增加。

所以當(dāng)x>1時(shí)，f(x)>f(1)=0，即x-1-ln2x+2alnx>0。

故當(dāng)x>1時(shí)，恒有x>ln2x-2alnx+1。

三、導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用

導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用主要是解決有關(guān)函數(shù)最大值、最小值的實(shí)際問題，主要有以下幾個(gè)方面:(1)與幾何有關(guān)的最值問題;(2)與物理學(xué)有關(guān)的最值問題;(3)與利潤(rùn)及其成本有關(guān)的最值問題;(4)效率最值問題。

例3 如圖，有一塊半橢圓形鋼板，其長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為2r，短半軸長(zhǎng)為r，計(jì)劃將此鋼板切割成等腰梯形的形狀，下底AB是半橢圓的短軸，上底CD的端點(diǎn)在橢圓上，記CD=2x，梯形面積為S。

(I)求面積S以x為自變量的函數(shù)式，并寫出其定義域:

(II)求面積S的最大值。

分析 先建立直角坐標(biāo)系，設(shè)出橢圓的方程，表示出梯形面積的函數(shù)關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)的有關(guān)知識(shí)解決問題。

解 依題意，以AB的中點(diǎn)O為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系O-xy(如圖)，則點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為x，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)y滿足方程+=1(y≥0)，

解得y=2(0

S=(2x+2r)#8226;2

=2(x+r)#8226;，其定義域?yàn)閧x|0

記f(x)=4(x+r)2(r2-x2)，0

令f′(x)=0，得x=r。因?yàn)楫?dāng)00;當(dāng)

□責(zé)任編輯:周瑜芽