一道高考數(shù)學題的多解\\溯源\\變式與創(chuàng)新

我們來看一道高考數(shù)學題——2008年高考數(shù)學江蘇卷第14題:

已知f(x)=ax3-3x+1對于x∈[-1，1]總有f(x)≥0成立，則a= .

一、多解

解法1:(構造函數(shù)法)(略)

解法2:(最值思想)

∵x∈[-1，1]時，f(x)≥0恒成立，∴f(1)=a-3+1≥0a≥2，而f′(x)=3ax2-3，由導數(shù)的性質可知f(x)在區(qū)間(-1，-)，(，1)上分別增函數(shù)，在區(qū)間(-，)上為減函數(shù).要使x[-1，1]時，f(x)≥0恒成立，則[f(x)]min≥0即可，即f(-1)≥0f()≥0a≤4a≥4a=4.

解法3:(特殊值法)

∵x∈[-1，1]時，f(x)≥0恒成立，取x=-1與x=，則f(-1)≥0f()≥0a≤4a≥4a=4.

二、溯源

引例的背景，事實上是人教版的教科書(A版)選修1-1第110頁復習題.已知函數(shù)f(x)=x(x-c)2在x=-2處有極大值，求c的值.原題與考題比較，已知函數(shù)有極大值，求未知參數(shù)，解題思路清晰，而考題條件相對強一些，條件與結論關系抽象，學生不易理解，增加了解題的難度.

三、變式

變式1 (2004年全國Ⅱ，文21)若函數(shù)f(x)=x3-ax2+(a-1)x+1在區(qū)間(1，4)內為減函數(shù)，在區(qū)間(6，+∞)上為增函數(shù)，試求實數(shù)a的取值范圍.

解:函數(shù)f(x)的導數(shù)f′(x)=x2-ax+a-1.

令f′(x)=0，解得x=1或x=a-1.

當a-1≤1，即a≤2時，函數(shù)f(x)在(1，+∞)上為增函數(shù)，不合題意.

當a-1>1，即a>2時，函數(shù)f(x)在(-∞，1)上為增函數(shù)，在(1，a-1)內為減函數(shù)，在(a-1，+∞)上為增函數(shù).依題意應有

當x∈(1，4)時，f′(x)<0，

當x∈(6，+∞)時，f′(x)>0.

所以4≤a-1≤6，解得5≤a≤7.所以a的取值范圍是[5，7]

變式2(2005山東卷)已知x=1是函數(shù)f(x)=mx3-3(m+1)x2+nx+1的極值點，其中m，n∈R，m<0.(1)求m，n的關系;(2)求f(x)的單調區(qū)間;(3)當x∈[-1，1]時，函數(shù)y=f(x)的圖象上任意一點切線斜率恒大于3，求m的取值范圍.

(答案:(1)n=3m+b;(2)m<0，f(x)在(-∞，1+]，(1，∞)單調減函數(shù)，在[1+，1)單調增函數(shù).)

四、創(chuàng)新，提升遷移

1.已知α，β是三次函數(shù)f(x)=x3+ax+2bx的兩個極值點，且α∈(0，1)，β∈(1，2)(a，∈R)，則的取值范圍是()

A. (，1) B. (，1)

C. (-，) D. (-，)

解:f′(x)=x2+ax+2b，依題意可知，方程f′(x)=0有兩個根α，β，且分別在(0，1)，(1，2)兩個區(qū)間內，∴f′(0)>0f′(1)<0f′(2)>0a，b滿足的約束條件為b>0a+2b+1<0a+b+2>0作可行域即右圖中陰影部分，又目標函數(shù)z=可理解為可行域中的點(a，b)與點(1，2)連線的斜率的取值范圍，設P(a，b)，A(-1，0)，C(-3，1)，則kAP=1，kPC=所以的取值范圍是(，1)，故選A.

2.(2005全國卷Ⅱ)已知a≥0，函數(shù)f(x)=(x2-2ax)ex.

(1)當x為何值時，f(x)取得最小值，證明你的.

(2)設f(x)在[-1，1]上是單調函數(shù)，求a的取值范圍

(答案:(1)x=a-1+時，f(x)取得最小值;(2)a的取值范圍是[，+∞)

責任編輯 鄒韻文