淺談正交矩陣的求法

1.引言

矩陣是線性代數中的核心內容，而正交矩陣是一種常用的矩陣，它在正交變換理論中起著十分重要的作用.正交矩陣不僅在線性代數中，而且在理工各學科領域的數學方法中，如優化理論、計算方法、信息分析中有著舉足輕重的地位.本文將總結兩種正交矩陣的求法：第一種是用施密特正交化求一個正交矩陣，說明了具體的解題步驟，并舉例說明；第二種是利用合同變換求一個正交矩陣，對其中用的重要定理、引理進行了證明，說明了這種方法的具體求解過程，并舉例說明.

定義1.1n階實矩陣A，若滿足A′A=E，則稱A為正交矩陣.

2.用施密特正交化方法求正交矩陣

關于化實對稱矩陣A為對角形的討論，大部分教科書中，都采用施密特正交化的方法求出正交矩陣T，按常規是分三步進行：

（1）求λE-A的全部不同的特征根λ1，λ2，…，λ1它們都是A的特征根.

（2）對每個特征根λ，解齊次線性方程組（αiE-A）X=0，求出它的一個基礎解系：αi1，αi2，…，αiki（1），對（1）施用施密特正交化得：βi1，βi2，…，βiki（2），再把（2）單位化，得：ηi1，ηi2，…，ηiki（3）

（3）以ηi1，ηi2，…，ηiki為列向量的矩陣T就是所求的正交矩陣.

例1.設矩陣A=1 2 22 1 22 2 1，求一個正交矩陣T，使得T′AT成為對角矩陣.

解：λE-A=（λ+1）2（λ-5）特征值是-1（二重）和5

把特征值-1代入齊次方程組

（λ-1）x1-2x2-2x3=0-2x1+（λ-1）x2-2x3=0-2x1-2x2+（λ-1）x3=0

得到-2x1-2x2-2x3=0-2x1-2x2-2x3=0-2x1-2x2-2x3=0