在七年級(jí)數(shù)學(xué)《中學(xué)生學(xué)習(xí)報(bào)》上有這樣一題:已知x-y=4，x+y=7，求x+y的值。學(xué)生各抒己見(jiàn):

學(xué)生甲認(rèn)為:易得x=y+4，所以y+4+y=7，

當(dāng)y>0時(shí)，y+4+y=7，y=1.5 x=5.5 x+y=7

當(dāng)0>y>-4時(shí)，y+4-y=7，無(wú)解

當(dāng)y<-4時(shí)，-y-4-y=7，y=-5.5 x=-1.5

x+y=-7

所以x+y=±7

學(xué)生乙這樣解:因x-y=4>0，所以分三種情況:

(1)當(dāng)x>0，y>0時(shí)，x+y=7

(2)當(dāng)x>0，y<0時(shí)，x-y=7與x-y=4矛盾

(3)當(dāng)x<0，y<0時(shí)-x-y=7，x+y=-7

所以x+y=±7

某老師說(shuō):易得x=y+4所以y+4+y=7即在數(shù)軸上找到y(tǒng)+4=0(y=-4)和y=0這兩點(diǎn)的距離和為7個(gè)單位的點(diǎn)。

分三種情況，

(1)A、B的左邊，AC+BC=7，即2AC+AB=7，而AB=4，所以AC=1.5 C為-5.5即y=-5.5 x=-1.5 x+y=-7。

(2)A、B之間 因AD+BD=AB=4≠7，所以不可能。

(3)A、B的右邊，同(1)得BE=1.5，即E為1.5，y=1.5 x=5.5 x+y=7

由此我聯(lián)想到了2008年樂(lè)山市第27題，閱讀下列材料:

我們知道x的幾何意義是在數(shù)軸上數(shù)x對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離;即x=x-0，也就是說(shuō)，x表示在數(shù)軸上數(shù)x與數(shù)0對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離。

這個(gè)結(jié)論可以推廣為x1-x2表示在數(shù)軸上x(chóng)1，x2對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離。

例1.解方程x=2，容易看出，在數(shù)軸上與原點(diǎn)距離為2的點(diǎn)的對(duì)應(yīng)數(shù)為±2，即該方程的解為x=±2

例2.解不等式x-1>2，如圖1，在數(shù)軸上找出x-1=2的解，即到1的距離為2的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為-1、3，則x-1>2的解為x<-1或x>3。

例3.解方程x-1+x+2=5。由絕對(duì)值的幾何意義知，該方程表示求在數(shù)軸上與1和-2的距離之和為5的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的x的值。在數(shù)軸上，1和-2的距離為3，滿足方程的x對(duì)應(yīng)點(diǎn)在1的右邊或-2的左邊，若x對(duì)應(yīng)點(diǎn)在1的右邊，由圖2可以看出x=2;同理，若x對(duì)應(yīng)點(diǎn)在-2的左邊，可得x=-3，故原方程的解是x=2或x=-3

參考閱讀材料，解答下列問(wèn)題:

(1)方程x+3=4的解為 ;

(2)解不等式x-3+x+4≥9;

(3)若x-3+x+4≤a對(duì)任意的x都成立，求a的取值范圍

解:(1)x=1或x=-7;

(2)x-3-x+4≥9看成數(shù)軸上x(chóng)點(diǎn)到-4，3兩點(diǎn)距離和不小于9。等于9時(shí)，x=-5或4，所以x≥4或x≤-5;

(3)x-3+x+4，即-3，4距離=7，a要大于x-3-x+4的最大值，所以a≥7。

看來(lái)舉一反三，真是美不勝收。

作者單位:四川犍為縣龍孔中學(xué)