近似完全重構IIR余弦調制濾波器組的優化設計

摘 要:提出一種新的近似完全重構因果穩定的IIR余弦調制濾波器組的設計方法。基于預先給定的極點值，IIR原型濾波器的設計問題可以簡化成一個凸極大值極小化的優化問題，從而采用二階錐規劃法求解。所得余弦調制濾波器組具有良好的頻率特性和合理的完全重構誤差。所設計的原型濾波器是因果穩定的，并且其多相因子分母相同，簡化了完全重構條件，可以用來進一步優化得到的完全重構系統。關鍵詞:因果穩定的IIR濾波器; 余弦調制濾波器組; 近似完全重構; 二階錐規劃法

中圖分類號:TN713文獻標識碼:A

文章編號:1004-373X(2010)15-0117-04

Optimized Design of Nearly-Perfect Reconstruction IIR Cosine Modulated Filter Banks

YIN Shi-shu

(Deptartment of Electronic Information Engineering， Anhui University of Finance Economics， Bengbu 233041， China)

Abstract: An efficient method is proposed for designing nearly perfect reconstruction (NPR) cosine modulated filter banks (CMFBs) with IIR prototype filters. Based on some given poles values， the design problem is formulated as a convex minimax optimization problem， and solved by second order core programming (SOCP). The obtained NPR IIR CMFB has good frequency performance and a reasonably low reconstruction error. The proposed IIR prototype filter is causal and stable， and its polyphase components have identical denominator to simplify the perfect reconstruction (PR) condition. Thus， the proposed NPR CMFBs can be further optimized to obtain PR systems. Keywords: causal stable IIR filters; Cosine modulated filter banks; nearly perfect reconstruction; second order core programming

0 引 言

完全重構濾波器組在語音、圖像、雷達等信號處理中有重要應用[1-2]。與相同階數的FIR濾波器相比，IIR濾波器以其陡峭過渡帶和高衰減阻帶而備受關注。因此IIR濾波器組技術也一直是研究重點。然而，由于高度非線性的目標方程，完全重構條件和穩定條件的共同要求，IIR濾波器的設計顯得很復雜。目前大多文獻集中于2帶IIR濾波器組的設計問題[3-6]。余弦調制濾波器組是一類具有低設計和低實現復雜度的濾波器組。所有的合成濾波器和分析濾波器都由同一原型濾波器調制產生。近來，Mao et al.提出了一類原型IIR濾波器，其多相因子具有相同分母，簡化了濾波器組的完全重構條件[7]。但是由于是采用完全重構FIR余弦調制濾波器組作為優化算法的初值，很難得到好的優化解，尤其對于高階IIR濾波器。文獻[8-9]中，一低延遲完全重構FIR余弦調制濾波器首先設計出來，然后采用降階為近似完全重構IIR余弦調制濾波器組作為初值，進一步優化得到完全重構IIR余弦調制濾波器組。該方法的缺點是要花費較長計算時間和首先設計一個高質量、低延遲的完全重構FIR余弦調制濾波器組。

目前為止，設計完全重構濾波器組的方法基本上是利用非線性約束優化算法。眾所周知，非線性約束優化算法非常依賴于初值的選取。尤其在濾波器組的帶數較高，濾波器的長度較大時，實現完全重構且具有較好阻帶和通帶特性的濾波器組是不容易的。另一方面，如果對完全重構條件的要求不那么嚴格的話，具有較好的通帶平坦性和阻帶衰減性的濾波器組很容易得到，而且設計過程中的計算復雜度也將大為降低。這類近似完全重構濾波器組的重構誤差如果可以控制在一定范圍，比如大約為10-3，則實際應用中是可以接受的。

本文提出一種設計近似完全重構IIR余弦調制濾波器組的新方法。基于給定IIR濾波器極點值設計問題，可以寫成一個凸極小極大值優化問題，從而可以用二階錐規劃求解[8，10]。實驗結果表明，設計所得濾波器組具有合理的低系統完全重構誤差。值得注意的是，IIR濾波器組的分母是關于zM的多項式(M是一個整數)，分解出來的濾波器多相因子具有同一分母。這將簡化濾波器組的完全重構條件[7-8]，使得近似完全重構濾波器組可以進一步優化得到完全重構余弦調制濾波器組。

1 IIR近似完全重構余弦調制濾波器組

圖1給出了M帶嚴格采樣濾波器組的一般結構。在分解濾波器組部分，輸入信號x(n)被分析濾波器Hk(z)，k=0，1，…，M-1濾波，并且進行下采樣，采樣因子為M， 從而分成M個子路信號。在合成濾波器組部分，為了重構原信號，先對接收到的M路子帶信號進行采樣因子為M的上采樣，然后通過M個合成濾波器Fk(z)，k=0，1，2，…，M-1，相加得出重構信號。所謂嚴格采樣是指所有子帶信號樣本數目與原信號一致。

圖1 M帶嚴格采樣濾波器組一般結構

對于余弦調制濾波器組，所有的分析濾波器和合成濾波器都是通過對同一原型濾波器進行調制得出的。對于IIR余弦調制濾波器組，其原型濾波器P(z):

P(z)=∑Lnum-1n=0a(n)z-n∑Lden-1n=0b(n)z-n

式中:Lnum和Lden分別是分子和分母的長度。

原型濾波器的頻率響應可以寫作:

P(ejω)=∑Lnum-1n=0a(n)e-jωn∑Lden-1n=0b(n)e-jωn=A(ω)e-jωDnumB(ω)e-jωDden=P(ω)e-jωD

式中:P(ω)和D/2分別是濾波器的幅度頻率響應和組延遲。M帶余弦調制濾波器組的分析濾波器可以用式(1)得到[1]:



Hk(z)=akUk(z)+a*kVk(z)， 0≤k≤M-1(1)

式中:Uk(z)=ckP(zWk+0.5)，Vk(z)=c*kP(zW-(k+0.5))，Wk2M=e-2jkπ/(2M);原型濾波器截止頻率是π/(2M);合成濾波器為Fk(z)=z-NHk(z-1)。如果ak和ck選取為ak=ejθk，θk=(-1)k(π/4)和ck=W(k+0.5)D/2，則可以很好地抑制重組信號中的主要混疊失真。系統的傳輸方程為:

T(ejω)≈1M∑M-1k=0[U2k(ejω)+V2k(ejω)](2)

如果T(ejω)是常數，則抑制了重組信號的幅度失真。顯然，Uk(ejω)和Vk(ejω)是P(ejω)的頻移。假定P(ejω)的理想頻率響應為:



Pd(ejω)=e-jωD，ω∈[0，ωp]

0，ω∈[ωs，π](3)



式中:D是通帶和過渡帶的組延遲;ωp和ωs分別是P(ejω)通帶和阻帶的截止頻率。又有P(ejω)=A(ω)e-jωDnumB(ω)e-jωDden。因此可得:A(ω)e-jωDnum=Pd(ejω)#8226;B(ω)e-jωDden，也就是A(ejω)=Pd(ejω)#8226;B(ejω)。詳細地:



A(ejω)=∑Lden-1n=0b(n)e-jω(n+D)， ω∈[0，ωp]

0，ω∈[ωs，π](4)

如若給定分母系數矢量b=[b(0)，b(1)，…，b(Lden-1)]T，則IIR濾波器P(ejω)的設計問題就是分子A(ejω)的設計問題。該問題可以采用二階錐規劃法求解。

2 基于二階錐規劃的設計方法

本文采用一般性的極大值極小化設計規則。首先，設計問題可以重寫:



Minimize δ

Subject to W(ω)|P(ejω)-Pd(ejω)|≤δ(5)



濾波器P(ejω)分子的頻率響應可以寫作:

A(ejω)=aT{cnum(ω)-jsnum(ω)}(6)

式中:a=[a(0)，a(1)，…，a(Lnum-1)]T是變量矢量;cnum(ω)=[1，cos(ω)，…，cos((Lnum-1)ω)]T;sunm(ω)=[0，sin(ω)，…，sin((Lnum-1)ω)]T。簡便起見，用(ejω)表示式(4)的右部。類似地有:

(ejω)=bT{den(ω)-jden(ω)}， ω∈[0，ωp]

0，ω∈[ωs，π](7)

式中:b是預先定義的矢量;den(ω)=[cos(Dω)，cos((D+1)ω)，…，cos((D+Lden-1)ω)]T;den(ω)=[sin(Dω)，sin((D+1)ω)，…，sin((D+Lden-1)ω)]T。如果用R(ω)和I(ω)分別表示式(10)中(ejω)的實部和虛部，則式(5)中的問題可進一步寫作:



Minimize δ

Subject to δ-{a2R(ω)+a2I(ω)}1/2≥0(8)



式中:-π≤ω≤π，aR(ω)=W(ω)[aTcnum(ω)-R(ω)]，aI(ω)=W(ω)[aTsnum(ω)+I(ω)]。在所感興趣的頻率段上把頻率量ω離散化成{ωi，1≤i≤m}，就可以得到下面標準的二階錐規劃問題:



Minimize cTx

Subject to cTx≥‖Fix-gi‖2(9)



式中:c=[1，OTN]T;x=[δ，aT]T;

Fi=W(ωi)0cnum(ωi)T0snum(ωi)T;

gi=W(ωi)[-R(ωi)I(ωi)]T;

ON是一個N 行零矢量;‖#8226;‖2表示歐氏距離。由于這是一個凸優化問題，只要解存在，就是優化解。此外，線性的二次方約束條件可以很容易地附加在式(9)。

這里預先定義分母B(z)的所有根都應該位于單位圓內，以保證濾波器的穩定性。其次，把B(z)定義成關于z2M的多項式，這樣可以保證其多相因子具有相同分母，簡化完全重構條件，使得設計所得濾波器組可以帶入某約束非線性優化算法，進一步優化得到完全重構系統。鑒于篇幅所限，完全重構余弦調制濾波器組的設計部分不做贅述。

3 設計過程

接下來給出一個基于二階錐規劃的設計程序。基于給定P(ejω)的阻帶截止頻率ωs，通帶阻帶波紋誤差比δp/δs=1，分子系數長度Lnum，調整通帶截止頻率ωp，使得系統重構誤差最小化。ωp的調整步長初始化為:wstp=ωp*0.001。具體步驟如下:

(1) 預先設定矢量b的值。

(2) 在給定的ωp波紋值上，用二階錐規劃法求取式(7)中分子A(z)。

(3) 計算系統重構誤差Epp:傳輸函數∑M-1k=0Hk(z)Fk(z)的最大峰峰值;

如果Epp

否則，如果Epp在接連t次循環運算中不減少，則停止。

(4) 更新ωp，回到第(2)步。

ωp的調整步長wstp在上述第(3)步中可以進行自調整。如果Epp在t次循環運算(本文中t=5)中不減小，則假定發現了局部解。

原型濾波器的分母B(z)系數，矢量b，要預先給定再開始整個設計程序。不失一般性地，矢量b的第一個元素可以假定為1，即b(1)=1。由于穩定性的要求，矢量b中其他非零系數必須小于1。為了簡化問題，首先考慮b中除b(1)外只有一個非零系數的情況。對于一個M帶近似完全重構余弦調制濾波器組有b=[1，0，…，b(2M+1)]，這里非零系數b(2M+1)∈(-1，1)。IIR原型濾波器的2M個極點值均勻分布在一圓周上，且值為:rejθi，r<1和i=[1，2，…，2M]。顯然一個絕對值比較大的b(2M+1)產生一個值比較大的r。對于b中除b(1)外包含兩個及兩個以上非零系數的情況，極點分布情況將更為復雜。

4 實驗例子

4.1 3-帶近似完全重構余弦調制濾波器組

首先，一個3-帶近似完全重構IIR余弦調制濾波器組被設計出來。原型濾波器分子系數長度Lnum=30。目標IIR原型濾波器P(z)通帶組延遲D=14.5，其阻帶截止頻率ωs=π/M。b=[1，0，…，b(2M+1)]，這里給定b(2M+1)=-0.05。通帶截止頻率ωp初始化為0.3π/M=0.1π。按著上文所述設計方法得到的近似完全重構余弦調制濾波器組分解濾波器組的頻率響應如圖2所示。

圖2 3-帶近似完全重構IIR余弦調制濾波器組

更新后通帶截止頻率p=0.055π，濾波器組的原型濾波器P(z)的最高阻帶衰減為-74.21 dB，系統重構誤差Epp=4.76e-3。

4.2 8-帶近似完全重構余弦調制濾波器組

給定8-帶近似完全重構IIR余弦調制濾波器組的原型濾波器P(z)分子系數長度Lnum=64。通帶組延遲D=31.5，阻帶截止頻率ωs=π/M。這里b=[1，0，…，b(2M+1)，…，b(4M+1)]，給定b(2M+1)=-0.05，b(4M+1)=-0.01。通帶截至頻率ωp初始化為0.3π/M=0.037 5π。設計所得近似完全重構余弦調制濾波器組分解濾波器組的頻率響應見圖3。

圖3 8-帶近似完全重構IIR余弦調制濾波器組

更新后通帶截至頻率p=0.024 112π。濾波器組的原型濾波器P(z)的最高阻帶衰減為-58.20 dB，系統重構誤差Epp=1.41e-2。

5 結 語

介紹了一種新的近似完全重構IIR余弦調制濾波器組的設計方法。基于給定的極點值，IIR原型濾波器的設計可以寫成一個凸極大極小值的問題。該問題可以用二階錐規劃法求解。給出了一個簡單的設計過程。實驗例子表明，所得近似完全重構IIR余弦調制濾波器組具有良好的頻率特性和合理的低系統重構誤差。

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