有損耗左手材料電波傳播特性的FDTD分析

摘 要:為研究電磁波在有損耗左手材料中的傳播特性，采用時域有限差分(FDTD)法和色散媒質的Drude模型，推導出基于Drude模型的左手材料二維FDTD迭代方程。一維數值仿真結果驗證了平面電磁波在穿過有耗左手材料時，其相速度大小與光速相同，方向與傳播方向相反，且隨著損耗因子的增大，左手材料內的電場強度幅值亦相應減小。此外，還利用多循環m-n-m脈沖作為激勵源，對左手材料平板具有的完美透鏡現象進行了二維數值仿真驗證。結果表明，有耗平板左手材料具有明顯的聚焦效果，在特定條件下能實現完美成像。關鍵詞: 左手材料; Drude模型; 時域有限差分法; 電波傳播

中圖分類號:TP011文獻標識碼:A

文章編號:1004-373X(2010)15-0063-04

Analysis of Electromagnetic Wave Propagation Characteristic in Lossy LHM by FDTD Method

ZENG Wen-bo， ZHAO Jia

(Electronics Information Controlling Department， Guangxi University of Technology， Liuzhou 545006， China)

Abstract: The Drude-based two dimensional FDTD iterative equations in LHM were deduced by FDTD method and the dispersive Drude model in order to study propagation characteristic of electromagnetic wave in left-handed materials (LHM). One-dimensional simulation results show that the phase velocity of a plane electromagnetic wave propagating inside a LHM is equal to the velocity of the light while the direction is converse， and the amplitude of electric field is reduced with the increase of loss factor. Furthermore， a LHM slab illuminated with a multiple cycle m-n-m pulses source is showed to have an obvious focusing effect， and can produce a perfect focus in and outside the slab under specific condition.Keywords: left-handed materials; Drude model; FDTD method; electromagnetic wave propagation

0 引 言

物理學中，介電常數ε和磁導率μ是描述介質中電磁場性質最基本的兩個物理量。在已知的物質世界中，對于普通的電介質而言，介電常數ε和磁導率μ都為正值，電場、磁場與波矢三者構成右手螺旋關系，這樣的物質被稱為右手材料(Right-Handed Materials，RHM)。所謂的左手材料(Left-Handed Materials，LHM)是指介電常數ε和磁導率μ同時為負的介質材料，也常被稱為雙負介質(Double Negative Materials，DNG)，其特點是電場、磁場與波矢三者構成左手螺旋關系。左手材料是近年來國際物理學和電磁學的一個研究熱點，其概念最初由前蘇聯物理學家 Veselago 于1968年提出并做了大量的理論性研究，指出了左手材料具有諸如負折射效應、逆多普勒效應等許多奇異的電磁特性[1]，但由于自然界中沒能發現ε和μ同時為負數的介質材料存在，所以他的研究結果在很長一段時間一直沒有得到實驗驗證，也沒能激起人們更多的興趣。1999年，英國皇家學院Pendry等人相續提出了用周期性排列的金屬棒和開口金屬諧振環可以在微波波段分別產生等效負介電常數和等效負磁導率的思路，并提出了左手材料具有“完美透鏡”特性的概念[2]。2001年，美國加州大學圣迭哥分校物理學家Smith教授等人首次成功地通過人工方法構造出了這種自然界中并不存在的材料，并且利用此介質進行了電波傳播實驗，通過實驗觀察到了負折射等一系列左手材料中電波傳播的特殊現象[3]。這些研究成果在國際上引起了很大的反響，激起了更多學者對左手材料在各個領域可能產生的應用前景進行了深入的思考和研究，而電磁波在該材料中的傳播特性顯然是研究的重要課題。

目前，物理光學方法、矩量法、時域有限差分法(FDTD)、高低頻混合方法等各種數值分析方法紛紛被用來仿真和分析左手材料中電磁波的傳播特性[4-5]，其中，時域有限差分法(FDTD)特別是基于Drude模型的FDTD方法是比較方便和有效的一種[3，6]。但在以往的研究當中，出于典型和計算方便等原因，常常在 Drude模型中將左手材料的損耗因子設為0，這顯然不完全符合實際情況。本文在建立有損耗左手材料Drude模型的基礎上，推導了其FDTD算式，并在不同損耗因子情況下，對LHM模型中TM波傳播的基本特性進行了數值仿真。結果表明，有損耗LHM內TM波傳播的方向、相速度方向等特性與無損耗LHM情況一樣，TM波在進入有損耗LHM后，電場幅度會衰減至邊界值的1/1-n。此外，有損耗LHM平板也能對點源信號進行聚焦，但其聚焦效果隨著損耗因子、平板厚度及波源到平板的距離改變而變化。

1 有損耗LHM的Drude模型

由于左手材料具有負的折射率，必然存在色散與吸收，因此，在利用FDTD仿真分析左手材料時，為避免上述提到的數值發散現象，一種基于等離子體概念，能對左手材料的介電常數ε及磁導率μ進行間接設置的所謂Drude模型得到了廣泛的采用。在Drude模型里，左手材料的相對介電常數和相對磁導率可表示為[4，7]:

εr=ε∞-ω2eω2+Γejω

μr=μ∞-ω2mω2+Γmjω(1)

式中:ε∞為直流相對介電常數;ωe為電等離子體的頻率;Γe為電碰撞系數;ωm磁等離子體的頻率;Γm為磁碰撞系數;Γe和Γm代表的是材料的損耗因子，為得到理想無損耗的左手材料模型，只要令Γe=Γm=0即可。

利用式(1)可以方便求取左手材料的折射率。為了簡化分析，令ε∞=μ∞=1，ωe=ωm=ωρ，Γe=Γm=Γ，此時折射率可表示為:

n=εrμr=1-ω2ρω2+Γ2+jΓω2ρω3+ωΓ2

式中:ω=2πf為入射波角頻率。由于Γ代表左手材料的損耗因子，其值通常為10-8~10-9數量級[8]，在本文所研究的30 GHz頻率波段，顯然有ωГ，由此進一步推導可知上式的虛部趨0，折射率只剩下實部，并可化簡為:

n(ω)≈1-ω2ρ/ω2(2)

所以，盡管在Drude模型中，折射率n(ω)為一復數，但在一定的頻率和損耗因子條件下，左手材料折射率n(ω)可近似為一實數，合理地對Drude模型中的各參數進行設置，可以得到折射率為不同負實數值的左手材料。

1.1 有耗LHM模型的FDTD算式

考慮本構關系:D=εrε0E，B=μrμ0 H和極化電流密度J、極化磁流密度K，并采用變換/t-jω后，可得出左手材料廣義Maxwell方程的時域形式:

×H=ε0ε∞Et+J

×E=-μ0μ∞Ht-K

ε0ω2eE=Jt+ΓeJ

μ0ωmH=Kt+ΓmK(3)

基于簡單和典型的考慮，本文主要分析和推導二維TM波情況。在此情況下，/z=0且Hz=Ex=Ey=0。構造Drude模型下二維TM波YEE元胞，用中心差分代替偏微分，將Durde模型εr和μr表達式代入并做整理，可得出二維TM波Drude色散媒質模型的FDTD算式。其中，Ez和Jz的表達式如下:



Enz(i，j，k+12)=Enz(i，j，k+12)+ΔtεΔx#8226;

Hn+1y(i+12，j，k+12)-Hn+12y(i-12，j，k+12)-

ΔtεΔyHn+1x(i，j+12，k+12)-Hn+12x(i，j-12，k+12)

+ΔtεJnz(i，j，k+12)Jn+1z(i，j，k+12)=

2-ΔtΓe2+ΔtΓeJn+1z(i，j，k+12)+2Δtω2eε02+ΔtΓeEnz(i，j，k+12)(4)



1.2 Drude模型的PML邊界條件

在FDTD 算法中，為了在有限的時間和有限的計算機存儲容量下模擬電磁波在無限大空間的傳播，必須在FDTD模型中把網格截斷，使網格空間成為有限。然而，為了減少誤差在計算中，必須用某種合理的算法去模擬這種截斷，即設置邊界條件。目前，基于在截斷邊界處設置假想的可吸收入射波材料思路的FDTD邊界條件，即完美匹配層(PML)邊界條件，由于其計算的精確性得到了廣泛的應用。在Drude模型下的PML層里，對于TM波，把電場Ez分解為兩個子分量Ezx和Ezy，并且Ez=Ezx+Ezy，由PML層中TM波的Maxwell方程可得:

μ0Hxt+Kx+σmyHx=-(Ezx+Ezy)y

μ0Hyt+Ky+σmxHy=-(Ezx+Ezy)x

ε0Ezxt+Jzx+σxEzx=Hyx

ε0Ezyt+Jzy+σyEzy=Hxy(5)

并且:

Kxt=μ0ω2mHx，Kyt=μ0ω2mHy

Jzxt=ε0ω2eEzx，Jzyt=ε0ω2eEzy(6)

將以上頻域方程轉為時域方程，并進行差分離散，即得Drude模型的PML邊界條件算式。

2 算例仿真結果與分析

2.1 損耗因子及折射率的影響

為簡化分析，首先仿真一維情況。采用Matlab工具軟件，用M語言編程，仿真一束頻率f=30 GHz的平面電磁波垂直入射到無限大左手平板材料的情況。FDTD建模過程如下:一維空間被劃分為x方向的200個網格，其中，在(100~150)Δx的區域放置無限大LHM平板。為保證迭代的收斂，時間步長Δt(單位:s)和空間步長Δx(單位:m)的選擇必須滿足Cournant穩定性條件，實際運算時取:

Δx=λ/100=10-4

Δt=Δx2C=1.67×10-13

平面波激勵源放置于LHM平板左側20Δx處，采用PML邊界條件，運算總時間步數取2 000。

為得到n=-1的典型左手材料，在Drude模型中選擇ε∞=μ∞=1，等離子體角頻率取ωe=ωm=ωρ=2ω即可。圖1、圖2分別給出了在以上條件下，當LHM的損耗因子分別取Γe=Γm=10-6和Γe=Γm=10-9，程序運算到1 000步時Ez的瞬時值圖。

圖1 Гe=Гm=10-6，運行到1 000步時Ez的瞬時值圖

圖2 Гe=Гm=10-9，運行到1 000步時Ez的瞬時值圖

從程序運行過程明顯觀察到:

(1) 在波源右側的真空內，Ez的波峰隨時間是向右推進的，表明真空中電磁波的相速度與能流密度傳播方向一致。在有耗LHM平板內，Ez的波峰隨時間向左推進，與傳播方向相反，表明電磁波在有耗LHM內相速度為負值;

(2) 從圖1和圖2可以觀察到，Ez波形在LHM和RHM兩種材料分界面出現了尖點，這是因為Ez在邊界上需要滿足切向分量相等的邊界條件，而電磁波在兩種材料中的相速度方向相反造成的。這些結論與Smith等人在文獻[3]中的分析及文獻[4，9]等文獻的結果相似。

對比圖1和圖2，隨著損耗因子的增大，LHM內電場強度的振幅變小，且隨傳播距離的增加而衰減，這個結論與文獻[5]的仿真結果正好相反。事實上，對于色散介質，其內部磁場能量密度為:

w=we+wm=(εω)ωE2+(μω)ωHz

將Drude模型的關系式(1)、式(2)代入并考慮:

μ∞=ε∞=1，Γe=Γm=Γ，ωe=ωm=ωρ=1-nω，可得:

w=1-n(E2+H2)(7)

而在RHM材料中，始終有:

w=E2+H2

顯然，要保證能量守恒，LHM材料中的場值應該是RHM中場值的1/1-n倍，因此，進入LHM的電波強度就會受到了抑制。

根據式(2)，改變ωρ，還可得到不同折射率的LHM。圖3和圖4給出了固定損耗因子Γe=Γm=10-6而折射率分別為n=0和n=-6時，電場瞬時值的仿真圖。

圖3 Гe=Гm=10-6，n=0時Ez的瞬時值圖

從圖3看到，Ez在零折射率材料內幾乎是一條直線，這表明電磁波在零折射率LHM中傳播時，其相位是不發生變化的。圖4則顯示在n=-6的LHM內，其內部的場值是外部RHM場值的1/7倍，這與式(3)推出的結論一致。

圖4 Гe=Гm=10-6，n=-6時Ez的瞬時值圖

2.2 二維仿真

仿真一束頻率f=30 GHz的波束垂直入射到有耗LHM平板的情況。二維空間被劃分為600Δx×800Δy個YEE網格，取Δx=Δy= 10-4 m，Δt=1.67×10-13 s。激勵源位于平板正上方[400，700]位置，LHM平板置于x=[0，800]，y=[220，420]的網格區域內，其厚度與其上表面到波源的距離相等，均為200Δx=2λ0，邊界上采用三層PML匹配層，厚度取10Δx，采用TM波多循環m-n-m脈沖[6]為激勵源。對式(4)決定的FDTD算式用Matlab工具軟件編程計算。取ωe=ωm=ωρ=2ω，相應的折射率n=-1，加入耗散因子Γe=Γm=10-8 ，運算總時間步數為8 000。圖5是運算時間步N=3 100時，電場Ez的偽彩色顯示圖。從該圖明顯看到:

(1) 電磁波的等相位面在LHM的內外是不同的，表明在LHM內電磁波相速度與傳播方向相反，這與一維仿真結論一致;

(2) 在LHM內部，逐漸發散的電磁波又被重新聚集起來，最終在LHM內形成一個焦點，這個現象顯然支持LHM的負折射理論;

(3) 在LHM另一側的真空中，TM波再次出現了明顯的聚焦現象。

以上仿真結果與J.B Pendry 等人在文獻[2-3，6]中提到的左手材料具有“完美透鏡”特性及能實現“二次聚焦”等結論相吻合。

圖5 時間步N=3 100時二次聚焦現象

進一步的仿真研究還表明，以上“二次聚焦”現象并不是在任何情況下都會產生的，損耗因子、LHM平板厚度以及折射率的改變，都會影響LHM對電磁波的匯聚效果。當保持激勵源至LHM表面的距離不變，而LHM的厚度由2λ0減少至只有一個λ0時，LHM內的焦點將消失。而逐漸改變折射率，例如折射率由-1逐漸朝負方向變至-2時，在LHM內的焦點也由一個明顯的焦點變成一個光斑，而光斑最后也將消失，但電磁波在LHM的軸線上仍有明顯的聚焦效應。

3 結 語

在Drude模型下，采用時域有限差分法，對電磁波在穿過有損耗左手材料時的基本特性做了一定的仿真研究。一維數值仿真結果表明，電磁波在經過有損耗左手材料時，其相速度大小與光速相同，而傳播方向則與電磁波傳播的方向相反。同時，在邊界處，LHM內的電場強度幅度是RHM內的1/1-n倍，而TM波在零折射率材料中傳播時，其相位是不發生變化的，隨著損耗因子的增大，LHM材料內場的電場強度減弱。此外，二維數值仿真結果驗證了平板左手材料具有類似普通右手材料凸透鏡的聚焦效果，在特定條件下，平板左手材料能實現二次聚焦。這些仿真結果既支持了相關文獻的理論和結果，同時也驗證了方法的可行性，對左手材料的理解和進一步研究提供了一定的參考。

參考文獻

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