探尋培養學生數學成功智力的路徑

從倡導教師智慧地教到促進學生智慧地學，已然成為當前課程改革的主旋律。所謂“智慧學習”就是具有智慧品質的學習，是指學習者通過他者的引領以及自身的努力，靈活地調整學習策略，自覺地觀照思維活動，生成并創造出自我學習智慧的過程，其核心是發展成功智力。

困惑：尋求解題策略遭遇知識割裂

在上學期筆者學校組織的六年級數學調研中，有這樣一道題：學校圖書館買來兩種圖書，每本簡裝《水滸傳》33元，每本精裝《西游記》52元。買兩種書一共用去406元，這兩種書各買了多少本？

學生在解答這道題時失分較多。很多學生把該題“歸屬”到了“雞兔同籠”的問題范疇，認為應當用“假設”的策略來解決，可題中并沒有告知兩種書的總本數，他們找不到現成的可以套用的解題模式，因而失分。盡管也有一小部分學生答出了正確答案，但從他們的解題過程中看不出清晰的解題思路，看不出他們所采用的是哪種解題策略，很可能是勉強湊出來的。幾百份試卷中，僅有幾份獨到的解法。筆者把該題給五年級部分班級學生解答，結果大多數學生都能應用“一一列舉”的解題策略輕松順利地作出解答。

其實，并不是五年級學生解決問題的策略意識比六年級學生強，而是因為上題與五年級學生所學的諸如“旅游團23人到旅館住宿，住3人間和2人間（每個房間不能有空床位），有多少種不同的安排”恰好類型相同。

蘇教國標版自四年級上冊起每冊都安排了一個“解決問題的策略”教學單元，這樣安排雖有利于學生對某一種解題策略的掌握和應用，但存在一定的局限性，即一旦所面臨的問題與當下所學的知識不相匹配，出現割裂，學生往往就表現出束手無策。學生擁有的“策略性知識”越多（按理說六年級的學生所擁有的“策略性知識”要比五年級的學生多），并不意味著他們解決問題的能力就越強。從擁有策略性知識到具備解決問題能力，其間要經歷什么階段？策略教學更多地應關注什么、追求什么？這些深層次的問題必須關注。

方向：探究解題策略經歷三個階段

數學課程標準中明確指出，“解決問題”是數學課程目標的四大領域之一，而讓學生“形成解決問題的一些基本策略，體驗解決問題策略的多樣性，發展實踐能力和創新精神”又是這一目標的具體內容之一。學習解決問題的策略，就是要幫助學生積累一些策略性的知識，提高解決問題的效率，提升學生的思維水平和智慧，促進其元認知的發展。解決問題的策略，一般應經歷三個階段：

陳述性知識的學習階段。知道學習的解題策略是什么、有什么功用、包含哪些具體的操作步驟。以“轉化策略”的教學為例。課始，通過比較不規則的兩個圖形面積的大小，向學生揭示出“把不規則的圖形通過適當的變化，變成規則的圖形，使原本比較困難的問題變成了比較容易解決的問題，這樣一種解決問題的策略叫轉化。”接著引導學生回憶“在哪些知識的學習中應用過轉化策略”，通過回顧和梳理，幫助學生發現“我們在學習一個新的知識時，幾乎都是通過轉化，把未知的變成已知的，從而獲得新進展、新突破的”，從而明確轉化的方向——困難轉容易、未知化已知。這是“轉化策略”教學的第一個階段。

再以“學會逆向思考”的教學為例，課始通過介紹我國載人航天工程總設計師王永志院士應用逆向思維，成功發射第一代中近程火箭的事例，向學生揭示出“在我們的數學學習中，也經常要用到逆向思維。有些數學問題，如果從正面入手按習慣思維找不到解題的突破口時，不妨變換一下思考的角度，逆向進行思考，往往就會收到意想不到的效果”。借助感性的材料說明“逆向思考”的解題策略是怎么一回事，它有著什么樣的功效，基本的思考方向是怎樣的，這同樣屬于第一個階段的教學。

將陳述性知識轉化為程序性知識階段。結合該解題策略適用的情景，對如何運用這一策略進行練習，逐步達到能夠熟練甚至自動地執行認知策略的操作程序。以“轉化策略”的教學為例，教師通過精心設計的兩組練習，由“扶”到“放”，讓學生對幾種常用的轉化方法如“變形法”、“數形轉化”、“分割法”、“關系轉化”等有了一定的了解，讓學生真切地感受到了轉化的價值。在這個過程中，教師讓學生不斷地積累使用轉化策略的經驗，為策略的習得奠定了基礎。這是將陳述性知識上升到程序性知識的學習階段。

達到元認知階段。清晰地把握策略的適用條件，知道在什么時候、在什么地方使用這一策略，并主動運用和監控這一策略的使用。只有達到這一階段的解題策略才具有廣泛的可遷徙性。以“轉化策略”的教學為例，教師在最后階段讓學生設計測量“土豆和三角積木（三棱柱）”體積的實驗方案，并思考“哪種方案更便于操作”、“用同種方案還可以測量出哪些物體的體積”以及“哪些立體圖形的體積都可以用‘底面積×高’來計算”等，意在讓學生主動運用和監控轉化策略的使用，這屬于第三個階段。當然一節課就讓學生達到策略學習的第三個階段也是比較困難的，還需在后續的學習中不斷地激發學生使用該策略的意識，進一步提高學生使用該策略的能力以及多種策略綜合運用的能力，這樣才有助于提高學生解決問題的能力。

路徑：教學解題策略講求四項原則

長線推進原則。如五年級上冊“一一列舉策略”的教學，教材是憑借簡單的組合問題以及租船問題，向學生介紹列舉的常用方法——先分類，再有序列舉。意在讓學生能初步體會到蘊涵其中的分類思想。在隨后學習“公因數和公倍數”、“正比例和反比例”等有關知識時，仍然會用到“列舉”的解題策略，這樣循序漸進，學生對“列舉策略”的認識才會逐步全面、深入。

吸納輔助原則。像“雞兔同籠”問題：今有雞兔同籠，上有二十一頭，下有五十八足，問雞兔各幾何？一次偶然的機會，筆者在參觀中國珠算博物館時，意外地發現了“雞兔同籠”問題的另一類解法，即借助算盤來求解的方法。先假設21只都是兔，從算盤的最左邊一檔起撥上4顆下珠，表示1只兔有4只腳，這樣共有21檔84顆下珠。因為84比58多出了26，再從最左邊一檔起，每檔依次撥去兩顆下珠（把一只雞看成兔就多出了4－2＝2只腳），共撥13次。這樣共有13檔，每檔只有兩顆下珠；有8檔，每檔有4顆下珠。也就是說雞有13只，兔有8只。讓學生學習用“假設”這種解題策略解答“雞兔同籠”問題之前，可以借助算盤讓學生對此類問題有一定的感性認識。在有一定的經驗儲備后，更有利于他們實現從“感性”到“理性”的跨越，實現從“經驗”到“能力”的提升。

實踐操作原則。“數學是現實的，學生從現實生活中學習數學，再把學到的數學應用到現實中去。”當數學中的解決問題具有了必要的“生活味”后，即可讓學生平添數學學習的趣味性，提高數學學習的能動性，感受數學學習的功效性。如在教學圓柱體的側面積、表面積以及體積的計算方法后，一次上班途中，筆者發現在熟悉的校園中就有許多與圓柱體有關的實際問題：怎樣求香樟樹干下端刷漆部分的面積？如何求貼“馬賽克”部分的面積？操場邊路燈燈管底座都刷上了綠漆，那底座猶如一根圓柱鐵管被斜切成了兩半，如果要求刷漆部分的面積，該如何應對呢？于是，筆者與學生漫步校園，一邊看一邊思考著“生活中有哪些與圓柱有關的實際問題”。在活動中，學生或獨立思考，或相互商討，想到了多種不同的轉化策略，絕大多數學生在活動中獲得了成功的體驗，產生了繼續應用和改進策略的學習動力。

優化選擇原則。有別于方法的策略教學，不能僅滿足于方法與建模，還要幫助學生學會在面對問題時知道從何入手，怎樣調整；要在學生自主嘗試運用個性化的策略解決問題的基礎上，通過相互交流理解不同的策略，比較不同的策略，促使學生自主優化、選擇并正確運用合適的策略。沒有學生個性化的嘗試，就不可能促成策略的建構與優化；沒有對策略的理解與比較，也不可能對策略作出適當的選擇和運用。(作者單位：江蘇省南通市通州區實驗小學)■

□責任編輯 鄧園生

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