數學方法在物理圓周運動中的應用

物理學與數學的關系最為密切。數學方法在中學物理教學中的靈活運用對學生的物理學習有很大幫助。下面筆者對在圓周運動教學中遇到的問題，談談如何運用數學方法求解。

一、利用不等式求解

如圖1所示，在水平放置的可旋轉的圓盤上，放一勁度系數為k、質量可忽略不計的輕彈簧，它的一端固定在軸上，另一端拴一質量為m的小物體A，這時彈簧沒有形變，長為L0，物體A與盤面間的動摩擦因數為μ，且設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力。當角速度為ω時，求A隨盤做圓周運動的最大半徑Lm是多少？

學生解答：設當速度為ω時摩擦力為f，且指向圓心，半徑為L，則有：k(L-L0)+f=mω2L ①

要使L最大，即f要最大且方向指向圓心，所以f=μmg。

∴ Lm= ②

解析乍一看，答案是正確的，其實不然，該答案應該是在一定條件下才是正確的。下面我取一組具體的數據進行計算驗證：

當取L0=0.5 m， k=20 N/m， ω=4 rad/s，uμ=0.5，m=1 kg時，

得 Lm===1.25 m 。

也即是半徑的最大值為1.25 m，如果取半徑大于1.25 m進行計算時，物體將不能穩定在圓周軌道上。

如果我們取半徑L=2 m進行計算，

則：①式左邊=k(L-L0)+f=20×(2-0.5)+5=35 N 。

①式右邊=mω2L=1×42×2=32 N 。

∵此時，摩擦力只需2 N，就能提供所需的向心力，

∴小物體能穩定在半徑為2 m的圓周軌道上。也就是說1.25 m并不是最大半徑。

但本題如果應用數學中的不等式知識求解，就可以得出正確答案。

答案：設當角速度為ω時摩擦力為f，且指向圓心，半徑為L，則有

k(L-L0)+f=mω2L，得 L=。

討論1：當k-mω2>0，則kL0-f>0

要L最大，即f=μmg，f方向背離圓心，

此時Lm=。

討論2：當k-mω2<0時，則kL0-f<0。

要L最大，即f=μmg，f方向指向圓心。

此時Lm= 。

二、利用求根公式求解

例2用一條細線把一個大圓環掛起來。環上有兩個質量為m的小環，它們可以在大環上無摩擦地滑動，如圖2，如兩小環同時從大環頂點釋放并沿相反方向自由滑下。若大環要被升起，它的質量M和小環質量m之比的最大值應該是多少？問當=時，大環開始上升時的角度θ的余弦值是多少？

解析：取小環為研究對象，大環給小環的作用力為F，則mgcosθ+N=。

又根據機械能守恒：mgR(1-cosθ)=，當大環被提起時：Fcosθ=。

聯立以上三式得：cos2θ-+=0。

用求根公式得：cosθ=。

當△=1-3M/2m≥0，即≤時，有最大值為。

當=時，可得cosθ=。

當cosθ=時，θ=arcos，此時大圓環開始向上運動，

故θ=arcos，應當舍去。

以上的兩題都是圓周運動中較為常見的題型。運用數學方法解決物理問題，其關鍵在于把有關物理量之間的聯系條件及限制條件全部找出來，并把這些條件歸納為數學方程。◆(作者單位：江西省南昌市第十中學)

□責任編輯：周瑜芽