數(shù)學(xué),教材之外的解讀亦精彩

很多人包括不少小學(xué)數(shù)學(xué)老師，認(rèn)為:小學(xué)數(shù)學(xué)的內(nèi)容比較簡(jiǎn)單。這種用成人已完成的認(rèn)知結(jié)構(gòu)分析得出的所謂“簡(jiǎn)單”結(jié)論，帶來(lái)的直接后果是，很多教師放棄了從兒童未知者的角度來(lái)加工數(shù)學(xué)知識(shí)的自覺意識(shí)，而是把數(shù)學(xué)教材中的知識(shí)結(jié)論簡(jiǎn)單地搬運(yùn)給學(xué)生，并反復(fù)加以訓(xùn)練，以期鞏固。這樣的數(shù)學(xué)課堂，教師講授的內(nèi)容學(xué)生通過自學(xué)課本完全能夠獲得，呈現(xiàn)的知識(shí)發(fā)展過程早為學(xué)生所知悉。除了知識(shí)和技能的累加，不只無(wú)益學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)，還會(huì)損害其對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的好奇心和求知欲。

有的老師為了改變這種“教得單調(diào)、學(xué)得無(wú)趣”的現(xiàn)狀，在課堂上增加題目難度，或者干脆補(bǔ)充奧數(shù)題目，美其名曰是發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。但這種改變只是單純?cè)黾恿私忸}步驟，或強(qiáng)化了特定解題技巧的訓(xùn)練，而不是我們所需要的對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)的觀照、數(shù)學(xué)思想的體驗(yàn)和數(shù)學(xué)價(jià)值的領(lǐng)悟。這樣的教學(xué)，我們發(fā)展的是學(xué)生的解題技巧，而非孩子的靈性。

兒童視角下的數(shù)學(xué)教學(xué)，不是單純的知識(shí)的傳授和接受，而是兒童生命成長(zhǎng)的一段歷程。我們給學(xué)生的不能只是“1+1=2”之類的規(guī)定性內(nèi)容，還要讓學(xué)生領(lǐng)略數(shù)學(xué)的美妙、神奇和巨大價(jià)值，感受數(shù)學(xué)知識(shí)本身散發(fā)出的獨(dú)特魅力。因此，我們對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)的加工不能只局限于教材中的知識(shí)和技能層面，還要用一種更為廣泛和聯(lián)系的眼光來(lái)加工教材，讓學(xué)生獲得更為豐富、深刻和靈動(dòng)的體驗(yàn)。下面是筆者的幾點(diǎn)嘗試:

一、用歷史的眼光解讀:追溯數(shù)學(xué)知識(shí)的源頭

蘇霍姆林斯基說(shuō)過:接近和深挖事物的本質(zhì)及其因果聯(lián)系的實(shí)質(zhì)，這一過程本身就是興趣的主要源泉。數(shù)學(xué)知識(shí)是人類文明在漫長(zhǎng)跋涉的進(jìn)程中，經(jīng)歷了無(wú)數(shù)人嘗試、抽象、概括和提煉的發(fā)展歷程，最后形成了符號(hào)化、體系化的概念、法則、公式和方法。這一發(fā)展過程以及過程背后的發(fā)展規(guī)律是數(shù)學(xué)知識(shí)最大的魅力所在。數(shù)學(xué)教師不能以已知者的身份來(lái)看待學(xué)生，只關(guān)注知識(shí)的記憶和運(yùn)用，而忽略知識(shí)是怎樣產(chǎn)生的。數(shù)學(xué)教學(xué)需要還原知識(shí)本身的“血肉”，而不只是熟記“骨架”。當(dāng)然這一過程，不同于數(shù)學(xué)家發(fā)明過程的簡(jiǎn)單復(fù)制，也不是數(shù)學(xué)發(fā)展史的濃縮，數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)敏銳地感受到知識(shí)發(fā)展中的一些內(nèi)在規(guī)律，即知識(shí)發(fā)展的“內(nèi)核”，進(jìn)而從某一知識(shí)發(fā)展的“內(nèi)核”引導(dǎo)學(xué)生感受知識(shí)的“創(chuàng)造”“發(fā)現(xiàn)”的過程。

例如數(shù)學(xué)教學(xué)中有很多的規(guī)定，為什么會(huì)有這樣的規(guī)定，而不是其它的可能呢?教師要用一種歷史的眼光來(lái)解讀這些現(xiàn)象:為什么正數(shù)前面的正號(hào)可以省略?就是因?yàn)樯钪姓龜?shù)用的比負(fù)數(shù)多，規(guī)定正號(hào)可以省略，可以更方便些。為什么加號(hào)寫成“+”?據(jù)說(shuō)，中世紀(jì)的酒商在售出酒后，曾用橫線標(biāo)出酒桶里的存酒，而當(dāng)桶里的酒又增加時(shí)，便用豎線條把原來(lái)畫的橫線劃掉，于是出現(xiàn)了表示減少的“-”和用來(lái)表示增加的“+”。為什么厘米用字母“cm”?就是因?yàn)槔迕椎挠⑽膯卧~是centimeter，取它的縮寫就是“cm”。很多單位的字母表示都是源自其英文單詞的縮寫。為什么時(shí)間(時(shí)、分、秒)的進(jìn)率選擇了60呢?史學(xué)家通過考證認(rèn)為，這是因?yàn)椤霸?00以內(nèi)的自然數(shù)中，60的因數(shù)最多”，這樣可以使許多有關(guān)時(shí)間的運(yùn)算(特別是古代有關(guān)歷法計(jì)算)變得十分簡(jiǎn)便。

很多數(shù)學(xué)知識(shí)探尋其源頭，其實(shí)并不復(fù)雜和神秘。相反，卻能感受到一種親切和溫情:很多時(shí)候，數(shù)學(xué)知識(shí)只是數(shù)學(xué)家根據(jù)生活常識(shí)進(jìn)行合理的提煉和總結(jié)、創(chuàng)造而已。當(dāng)孩子擁有這樣的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)歷，數(shù)學(xué)在他的眼里，一定不是枯燥和深?yuàn)W的，相反，數(shù)學(xué)是一種思維的樂趣，是一種創(chuàng)造的啟迪，當(dāng)我們的認(rèn)知積累到一定程度時(shí)，我們也可以用自己的理解去創(chuàng)造屬于自己的知識(shí)。

二、用理性的眼光解讀:透視現(xiàn)象背后的本質(zhì)

每一門學(xué)科，都有其獨(dú)特的教育價(jià)值。每一門學(xué)科，在教給孩子基礎(chǔ)的知識(shí)和技能后，也必然自覺或不自覺地影響著孩子認(rèn)識(shí)世界的思維方式、行為態(tài)度，使得孩子擁有一種新的看清世界的眼光。數(shù)學(xué)教學(xué)要引導(dǎo)學(xué)生用一種用理性的眼光觀察現(xiàn)象，用辯證的頭腦思考問題，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)視野更為深遠(yuǎn)。

例如教學(xué)“素?cái)?shù)和合數(shù)”時(shí)，筆者引進(jìn)這樣一個(gè)數(shù)學(xué)背景:1634年，來(lái)自歐洲的殖民者在美洲大陸田納西地區(qū)經(jīng)歷了一場(chǎng)恐怖:大量的蟬(達(dá)到每公頃數(shù)百萬(wàn)只)仿佛一夜之間從地底冒出，幾個(gè)星期之后，又銷聲匿跡。時(shí)隔17年，這一現(xiàn)象再次出現(xiàn)，直到1991年，共出現(xiàn)了22次，周期非常準(zhǔn)確。科學(xué)家發(fā)現(xiàn)，蟬的生命周期大都為質(zhì)數(shù)，比如在北美洲北部地區(qū)周期為17年，而在北美洲南部地區(qū)周期為13年，為什么是17和13，而不是其它數(shù)字呢?科學(xué)家解釋說(shuō)，蟬在進(jìn)化的過程中選擇質(zhì)數(shù)為生命周期，可以大大降低與天敵遭遇的概率。比如它的生命周期是12年，則與那些生命周期為1年、2年、3年、4年、6年及12年的天敵都可能遭遇，而使得種群生存受威脅。

再如學(xué)習(xí)了圓周長(zhǎng)之后，筆者這樣引思:假設(shè)在地球赤道上纏一根橡皮筋，同時(shí)在一只西瓜的最大橫截面上也纏一根橡皮筋。如果將地球和西瓜的半徑都加長(zhǎng)1米，那么纏在地球和西瓜上的橡皮筋都將拉長(zhǎng)，請(qǐng)問:哪根橡皮筋被拉長(zhǎng)得多一些?學(xué)生想象中當(dāng)然是纏在地球上的橡皮筋拉得長(zhǎng)，但實(shí)際上是一樣的。經(jīng)過計(jì)算，地球和西瓜都增加2?仔米 。

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要讓知識(shí)的學(xué)習(xí)伴隨著豐富的數(shù)學(xué)思考，讓方法的滲透伴隨著理性精神的培育。數(shù)學(xué)可以掃除現(xiàn)象上面的迷霧和障礙，幫助我們直接抵達(dá)問題的本質(zhì)。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的價(jià)值不只是計(jì)算和解題，要讓學(xué)生在思辨中體會(huì)到數(shù)學(xué)的巨大力量，獲得心靈上的震撼。

三、用智慧的眼光解讀:把脈兒童思維的節(jié)點(diǎn)

數(shù)學(xué)教學(xué)不能停留于無(wú)須智慧努力只須聽講和記憶就能掌握的那種程度，這實(shí)際上是對(duì)學(xué)生智慧的扼殺和個(gè)性的摧殘。數(shù)學(xué)教學(xué)為學(xué)生提供的不應(yīng)是支零破碎、細(xì)枝末葉的數(shù)學(xué)知識(shí)，而是作為結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)、智慧的數(shù)學(xué)。教師要注重揭示“方法背后的方法”，提煉出知識(shí)內(nèi)容本身的策略思想，提高學(xué)生的控制能力，達(dá)到“聞一知十”的效果。

例如著名特級(jí)教師徐斌老師教學(xué)“用轉(zhuǎn)化的策略解決實(shí)際問題”時(shí)，注重在品味每個(gè)轉(zhuǎn)化個(gè)例中進(jìn)行凝練提升。在比較兩個(gè)不規(guī)則圖形的面積大小時(shí)，通過平移和旋轉(zhuǎn)，兩個(gè)不規(guī)則圖形都轉(zhuǎn)化成同一個(gè)規(guī)則的長(zhǎng)方形，最終輕松比較面積大小相等，教師歸結(jié)為:復(fù)雜→簡(jiǎn)單;在回憶平行四邊形、三角形、梯形、圓面積計(jì)算公式和圓柱、圓錐體積計(jì)算公式的推導(dǎo)過程時(shí)，教師讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)它們的共同之處:新問題→舊知識(shí)……在此基礎(chǔ)上，徐老師提出了如何獲知一張紙的厚度、一枚硬幣的體積、一個(gè)燈泡的容積等生活中富有挑戰(zhàn)性的問題，這些在平?？赡茏寣W(xué)生冥思苦想而難得其解的問題，在徐老師的課堂上卻表現(xiàn)異?；钴S，解決問題的方法層出不窮。原因就在于教師找到了兒童思維的節(jié)點(diǎn)，當(dāng)教師亮出“薄→( )”的方法提示時(shí)，學(xué)生很快就能想到“厚”，進(jìn)而考慮增加同樣的紙張進(jìn)行轉(zhuǎn)化的策略，由此，再聯(lián)想到“小→大”“浸入→排除”的轉(zhuǎn)化策略也就水到渠成。

數(shù)學(xué)教材不只提供知識(shí)結(jié)論，也設(shè)計(jì)了知識(shí)的形成過程，但這不能替代教師的引領(lǐng)。兒童數(shù)學(xué)知識(shí)的累加并不總是對(duì)應(yīng)能力的發(fā)展、智慧的提升，教師要站在系統(tǒng)的高度，善于抓到學(xué)生思維獲得突破的節(jié)點(diǎn)，畫龍點(diǎn)睛，在不改變問題總量的情況下提升思維的含量，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思考能力。

四、用幽默的眼光解讀:創(chuàng)設(shè)輕松理解的氛圍

蘇霍姆林斯基認(rèn)為，學(xué)生要能牢固地記憶概念、結(jié)論、規(guī)則及其他概括，他就必須閱讀和思考許多并不需要識(shí)記的材料。這些材料是應(yīng)當(dāng)保持在記憶里的那些概括的基礎(chǔ)。事實(shí)上，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中，當(dāng)學(xué)生面對(duì)抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)，支撐著學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識(shí)的還有更為豐富和感性的數(shù)學(xué)事實(shí)知識(shí)體系。教師要善于找到這些能夠幫助學(xué)生獲取抽象性知識(shí)的學(xué)習(xí)材料。

例如筆者教學(xué)圓周率時(shí)，為了形象地說(shuō)明圓周率是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，筆者介紹1996年初，數(shù)學(xué)家利用電腦將?仔值已算到42億多位，數(shù)字排列也沒有出現(xiàn)重復(fù)。日本一個(gè)數(shù)學(xué)家專門將算出的?仔值出了一本書，厚達(dá)幾百頁(yè)，但還沒有算完。

卡特金說(shuō)過:“未經(jīng)過人的積極感情強(qiáng)化和加溫的知識(shí)，將使人變得冷漠。由于它不能撥動(dòng)人的心弦，很快就會(huì)遺忘?！庇薪?jīng)驗(yàn)的數(shù)學(xué)教師會(huì)讓學(xué)生學(xué)會(huì)由數(shù)學(xué)事實(shí)中發(fā)現(xiàn)(或者是頓悟)而不是灌輸概括性知識(shí)。只有這樣，才能讓這些關(guān)鍵知識(shí)有效地保持在記憶里，并及時(shí)地獲得提取。

總之，其實(shí)數(shù)學(xué)符號(hào)、幾何圖形、公式、定理等這些數(shù)學(xué)的構(gòu)成要素都源于人們的生活，原本是田野的、質(zhì)樸的和有感情的，只不過把它們抽象成數(shù)學(xué)知識(shí)，負(fù)載于教材后這些鮮活的內(nèi)容就被固化。數(shù)學(xué)教師要能夠超越教材，致力于還原其人文的本真面目，這不只是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的需要，更是學(xué)生生命成長(zhǎng)的需要。

(作者單位:江蘇翔宇教育集團(tuán)寶應(yīng)縣實(shí)驗(yàn)小學(xué))

本欄責(zé)任編輯李淳