巧用反例促進學生理解

心理學研究表明，在概念形成的過程中，概念的各種肯定例證傳遞了最有利于概括的關鍵信息，概念的否定例證即反例則傳遞了最有利于辨別的信息。無疑，學生對概念的錯誤認識不能單純依靠正面的示范和反復的練習得以糾正。正確、恰當地運用反例，常常能達到事半功倍的教學效果。汪明峰老師執教“奇妙的圖形密鋪”一課時，巧妙運用反例，輕松揭示“密鋪”的本質特征，讓學生對“密鋪”有了準確、深刻的理解。

【片段一】適時出示反例，揭示特征

師：同學們，小烏龜、小袋鼠、小狗和小猴聽說學校操場南邊要重新綠化，綠地中央有一塊活動場地，它們爭著要參與這塊場地地磚的鋪設工作。工人師傅們為了保證質量，先讓它們分別試著鋪了一些。小烏龜、小袋鼠、小狗和小猴分別是這樣鋪的。（出示圖1~圖4）

圖1圖2 圖3圖4

師：以你們的眼光來看，誰鋪得好一些呢？

生：小猴鋪得最好。小烏龜和小袋鼠鋪的都有空隙，不太好。小狗鋪的雖然沒有空隙，但是有些地方疊起來啦，容易把人絆倒！小猴鋪得最好，沒有空隙，也沒有疊起來。

師：是啊！工人師傅們最終也選擇了讓小猴來鋪。為了使小猴鋪得更好，他們又給小猴做了一些示范（如圖5~圖7）。這些地磚鋪得有什么共同特點？

圖5圖6 圖7

生：每一塊磚都緊挨著，既沒有空隙、也不重疊。

師：像這樣把一些圖形既無空隙、又不重疊地鋪在平面上，這種鋪法就叫做密鋪。

【賞析】在教學中，汪老師適時地引入3幅密鋪的反例圖形，引導學生對正例與反例進行對比，讓學生在細心辨析中發現密鋪的本質特征——既無空隙、又不重疊地鋪在平面上。試想：如果老師首先出示密鋪的3幅圖（圖5~圖7），試圖引導學生觀察、討論，概括圖形密鋪的特點，學生似乎并不容易發現三幅圖的共同特征，也就難以揭示密鋪的特點。不難發現，在汪老師的教學片段中，正是有了反例的對比與襯托，學生才如此輕松、準確地發現了圖形密鋪的特點，學生分析問題和解決問題的能力也得到了訓練和發展。

【片段二】自主修正反例，深化認識

師：這3幅圖形是密鋪嗎（出示圖8~圖10）？為什么？

圖8 圖9 圖10

生1：圖8不是密鋪，因為它有空隙。

生2：圖9不是密鋪，因為它有重疊。

生3：圖10不是密鋪，因為它也有空隙。

師：有辦法讓這3幅圖形變成密鋪嗎？

生：拖動鼠標，將圖8和圖9分別改變為如下圖形（圖11~圖12）。而圖10無論如何都無法改為密鋪。

圖11圖12

【賞析】在數學教學過程中，學生產生錯誤是在所難免的。與其等錯誤發生后再去糾正，不如運用反例“防患于未然”。上述教學片段中，汪老師在學生初步認識密鋪后，及時引導學生判斷三幅圖形是否是密鋪并修正反例。正是因為有了對反例的修正，學生對密鋪的認識才得到強化和鞏固。而圓無法進行密鋪的特征也在反例修正的過程中自然而然為學生們所了解和掌握，學生對密鋪的認識逐步走向深入。

【片段三】自主構造反例，完善認知

師：剛才都是老師舉例讓大家判斷、修正。那么，你們自己能利用卡片先擺出一個不是密鋪圖形的例子然后再修正嗎（指名3個學生在磁性黑板上分別擺出不是密鋪的圖形，如圖13~圖15）？

圖13圖14 圖15

生1：第一幅圖有縫隙，第二幅圖重疊了，它們都不是密鋪。

生2：第三幅圖既有縫隙又有重疊，當然不是密鋪。實際上，不是密鋪的圖形也就是有縫隙、有重疊、既有縫隙又有重疊這3種情況，而剩下的一類既沒縫隙又不重疊的鋪法就是密鋪。

【賞析】在數學教學中，并不一定都是由教師提供反例讓學生辨析，有時候讓學生自己構造反例，不僅有利于學生理解所學知識，更利于學生完善認知結構。上述教學片段中，當學生對圖形密鋪有了較深刻的認知后，汪老師讓學生自主構造反例并加以修正。這樣，學生在自構反例和修正中，進一步認識圖形密鋪的本質屬性，不斷總結深化密鋪知識，學生對圖形密鋪的認識更為深刻。

正如美國數學家B.R.蓋爾鮑姆和J.M.H.奧姆斯特德指出：“冒著過于簡單化的風險，我們可以說數學由兩大類（證明與反例）組成，而數學發現也是朝著兩個主要目標：提出證明與構造反例。”因此，在數學教學中，教師要善于運用反例，讓學生在正反對比、修正反例、自構反例活動中，積極進行分析、比較、抽象、概括等一系列思維活動，不僅讓學生對所學知識的理解更為深刻，也促進學生思維能力的發展。（作者單位：江蘇省濱海縣實驗小學）

（插圖/澤忠）