基于球面交點的AFM算法的誤差分析與改進(jìn)方法

陳萬通 秦紅磊 叢 麗 金 天

(北京航空航天大學(xué)電子信息工程學(xué)院 北京 100191)

1 引言

姿態(tài)測量一般應(yīng)用于衛(wèi)星、航天器、飛機(jī)、船舶、汽車等高動態(tài)的載體上，要求姿態(tài)測量系統(tǒng)具有精度高、實時性強(qiáng)、安裝方便等特點。利用GPS信號進(jìn)行姿態(tài)測量相比于慣性器件解算姿態(tài)具有體積小、成本低、無累積誤差等優(yōu)勢，已經(jīng)成為當(dāng)前姿態(tài)測量的主要手段之一[1]。采用GPS載波相位雙差模型能夠削減電離層和對流層誤差，軌道誤差，衛(wèi)星和接收機(jī)時鐘誤差，實現(xiàn)高精度的相對定位，進(jìn)而完成姿態(tài)測量。但由于載波相位測量時存在觀測信號的整周模糊度和整周跳變問題，成為當(dāng)前該領(lǐng)域的技術(shù)難點[2]。目前解算整周模糊度的最有效方法主要有LAMBDA[3]、OMEGA[4]、CTLS[5]等，但其要求準(zhǔn)確剔除觀測數(shù)據(jù)中的周跳，不利于實際應(yīng)用。模糊度函數(shù)法(AFM)只用到載波相位觀測值的小數(shù)部分，對周跳不敏感，可以單歷元姿態(tài)解算，缺點是計算量太大[2]。基于球面交點的模糊度函數(shù)法進(jìn)行計算量的削減[6]，其采用雙星解析法將姿態(tài)角的搜索域限制在球面的有限個點，從而減小了計算量[7]，并在高動態(tài)環(huán)境下取得了較好的效果[8]。但是，該算法并沒有提高成功率，以及深入研究觀測噪聲統(tǒng)計特性對姿態(tài)解算成功率的影響。為此，本文以噪聲對姿態(tài)解算的影響為背景，對該算法的成功率進(jìn)行分析，并提出了進(jìn)一步提高成功率的方法。

2 模糊度函數(shù)法(AFM)

對于以A、B兩個天線為端點的短基線，其雙差載波相位觀測方程表述如下[9]：

整周模糊度的浮點解為

對于N個雙差整周模糊度，AFM算法將雙差觀測值適應(yīng)度函數(shù)定義為

然后采用搜索策略，針對θ和ψ的角度范圍，選定步長，則適應(yīng)度函數(shù)的最大值所對應(yīng)的(θ, ψ)即為正確的姿態(tài)角，步長越小，則姿態(tài)角的精度越高，但計算量也越大。

3 基于球面交點的AFM算法

3.1 單差模型下的雙星解析法

基于球面交點的AFM算法是一種減小AFM算法計算量的改進(jìn)算法[8]。其采用雙星解析法將候選姿態(tài)角限制在球面上有限個交點，避免了全局搜索。其采用同一時鐘的兩臺接收機(jī)進(jìn)行姿態(tài)解算，將載波相位觀測值作單差就可以消除衛(wèi)星和接收機(jī)時鐘誤差，故采用兩顆衛(wèi)星的單差方程就可以求解出未知俯仰角和航向角的解析解。即

3.2 雙差模型下的三星解析法

對于使用不同時鐘的兩臺接收機(jī)而言，必須采用雙差方程。求解候選姿態(tài)角至少需要3顆衛(wèi)星，指定其中一顆為參考星，由得到的兩個雙差觀測方程進(jìn)行求解，即三星解析法。與雙星解析法不同的是用雙差觀測量取代單差觀測量，觀測噪聲會變大，雙差整周模糊度的范圍變大，解析法中需試驗的組合數(shù)將增多，而且，需要使用不同衛(wèi)星與參考星的方向單位矢量的差矢量進(jìn)行計算，這使得其最優(yōu)選星算法與單差情況下不同。為此，給出基于雙差觀測方程下的候選姿態(tài)角的解析解求法。將式(1)中的單位矢量差(si?sk)的北東天3個分量用方位角αik和俯仰角βik表示。

則i和j兩顆衛(wèi)星對參考星k的雙差方程為

那么由式(6)可以得到

進(jìn)而整理可得

展開整理得

將式(8)，式(9)聯(lián)立，令x=sinθ，即有

然后利用求根公式即可求得根x1, x2。

事實上，式(6)的解是以基線長為半徑的球面上的兩個圓的交點，因此上述4個解中僅有兩個解符合原方程，不正確的解可以回代到原方程中剔除掉。由于則可得到與的范圍，遍歷每一種組合，可以得到所有可能的姿態(tài)角解析解。以一組長度為1.75 m的短基線的實際數(shù)據(jù)為例，其解分布如圖1所示，可見姿態(tài)角候選點的個數(shù)大大減少，再從中篩選出最大適應(yīng)度函數(shù)值所對應(yīng)的姿態(tài)角，如箭頭所示。

圖1 所有可能的姿態(tài)角

3.3 球面交點AFM算法流程

為了進(jìn)一步提高姿態(tài)角的解算精度，將該姿態(tài)角代入式(3)可以得到整周模糊度的浮點解，將浮點解進(jìn)行四舍五入可以得到模糊度的整數(shù)解，已知全部衛(wèi)星的整周模糊度，就可以代入雙差觀測方程中，采用最小二乘的方法，計算高精度的基線向量，然后求得高精度的姿態(tài)角。整體流程如圖2所示。

4 誤差分析

圖2 姿態(tài)測量流程圖

基于球面交點的AFM算法雖然了減少計算量，但其對AFM算法的成功率尚未深入闡述，只是對單差觀測方程下的雙星解析法的誤差做了定性分析[8]，沒有針對雙差觀測方程下的誤差做分析，也沒有討論誤差對AFM算法的成功率的影響。下面將依次研究單差和雙差觀測量的噪聲大小及其對AFM算法的各個關(guān)鍵步驟的誤差影響。

4.1 噪聲的統(tǒng)計特性研究

雙差載波相位觀測矢量噪聲的統(tǒng)計模型為

其中Em?1為m?1階全1矩陣，Im?1為m?1階單位矩陣。雙差觀測值的方差不僅比單差增大1倍，而且衛(wèi)星之間存在相關(guān)。因此，雙差觀測量比單差觀測量對解析法的誤差影響要大。此外，仰角過低的衛(wèi)星的觀測噪聲易偏離正態(tài)分布，異常的概率也較大[11]。

4.2 噪聲對解析解的影響

由式(6)可知，i和j兩顆衛(wèi)星對參考星k的觀測噪聲會分別對O1和O2產(chǎn)生影響，式(10)中兩個參數(shù)的計算不涉及O1和O2，b參數(shù)與O1和O2都有關(guān)，d, e僅與O1有關(guān)，因此，觀測誤差會影響一元二次方程的一次項和常數(shù)項，最終使一元二次方程的根產(chǎn)生偏差。考慮到地面載體的俯仰角θ比較小，對式(6)求偏導(dǎo)

其中λ=tanβik。

若要降低噪聲對姿態(tài)解析解的影響，需要使偏導(dǎo)分母盡可能大，可采取如下措施：

(1)增加基線長度。缺點是會導(dǎo)致雙差整周模糊度的存在范圍變大，式(6)需要試驗的模糊度組合數(shù)變多，增加了計算量。

(3)增大Γ1(ψ)和Γ2(ψ)。即盡量使sik和sjk矢量的方位角分布在載體兩側(cè)，從而使得sin(αjk?ψ)和sin(αik?ψ)符號相反，分母成同符號相加。

4.3 解析解誤差傳播

假設(shè)真實的姿態(tài)角為(θ0, ψ0)，解析法求得的姿態(tài)角為(θ, ψ)，則基線坐標(biāo)的誤差為

則不考慮解析解誤差和觀測噪聲，真實的雙差整周模糊度為

則解析解誤差和觀測噪聲導(dǎo)致模糊度偏差

即整周模糊度的偏差與基線分量偏差和觀測噪聲的大小都有關(guān)系，而基線分量偏差又是由觀測噪聲導(dǎo)致，的方差為0.05，當(dāng)δb的偏差稍大時，則會導(dǎo)致模糊度的計算值與真值有較大偏差，最終導(dǎo)致正確解的適應(yīng)度函數(shù)值小于非正確解的適應(yīng)度函數(shù)值，這時選取適應(yīng)度函數(shù)最大值所對應(yīng)的姿態(tài)角作為姿態(tài)解算結(jié)果將導(dǎo)致錯誤。具體如下：

以一組單基線數(shù)據(jù)進(jìn)行說明：基線長度為1.754 m，東西向水平放置，輸出頻率為1 Hz/s。以第119 s數(shù)據(jù)為例，衛(wèi)星可見數(shù)為8顆，衛(wèi)星編號分別為16，6，31，23，32，29，20，14，仰角高度分別為68.0°，61.8°，31.8°，30.0°，28.5°，24.4°，17.1°，15.7°，以16號星為參考星，觀測數(shù)據(jù)如表1所示。

表2最右列為雙差整周模糊度，是采用LAMBDA算法得到的正確解，同時得到基線的俯仰角為0.65°，航向角為267.74°。如果式(6)中給定的兩個模糊度是正確的，按照圖2流程可以得到所有衛(wèi)星的整周模糊度在沒有噪聲的情況下也是全部正確的，但由于不同衛(wèi)星的觀測噪聲不同，選取不同的衛(wèi)星組合，最終的解算結(jié)果可能不同。如表2所示(粗體為正確解)。

從數(shù)據(jù)計算結(jié)果可以看到，當(dāng)使用非參考星中仰角最高的6號和31號兩顆星的模糊度進(jìn)行計算時，適應(yīng)度函數(shù)較大的那組解與真實的姿態(tài)角非常接近，由其得到的各個整周模糊度也正確。當(dāng)采用仰角最低的20號和14號兩顆星進(jìn)行計算時，可以看到適應(yīng)度函數(shù)急劇下降，姿態(tài)角解析解的誤差變大，由其計算其它星的整周模糊度也發(fā)生了錯誤。該組數(shù)據(jù)也驗證了仰角低的衛(wèi)星其噪聲由于偏離正態(tài)，測量噪聲往往會偏大。由23和20號星計算結(jié)果可以看出，相比于第一種組合，姿態(tài)角的偏差即使改變很小，適應(yīng)度函數(shù)的計算值也會下降很多。即正確姿態(tài)角的適應(yīng)度函數(shù)值很可能小于某個非正確的姿態(tài)角的適應(yīng)度函數(shù)值，如第1種組合的第1組解析解。同時也發(fā)現(xiàn)，解析法給出的真實姿態(tài)角精度較低，由其得到模糊度浮點解的適應(yīng)度大小也反映了浮點解的精度。

表1 第119個歷元的雙差觀測量

表2 不同衛(wèi)星組合下的解算結(jié)果

進(jìn)一步研究噪聲對適應(yīng)度函數(shù)值的影響，將單歷元內(nèi)所有候選姿態(tài)角的適應(yīng)度函數(shù)值由大到小進(jìn)行排序，真實姿態(tài)角的適應(yīng)度所處位置能夠反映出該歷元噪聲的影響大小。即需要比較適應(yīng)度最大值與真實姿態(tài)角的適應(yīng)度以及排序位置情況。上例數(shù)據(jù)中 1至300歷元的比較結(jié)果如圖3所示。可見，噪聲在第2 s，103 s，270 s，300 s附近對真實姿態(tài)角的適應(yīng)度影響很大，函數(shù)值比最大值小0.1左右，出現(xiàn)的位置為10左右。其余歷元基本上最大值就是真實姿態(tài)角的適應(yīng)度。

圖3 最大適應(yīng)度與真實姿態(tài)角適應(yīng)度比較

5 改進(jìn)算法

雖然噪聲會對適應(yīng)度函數(shù)值和模糊度浮點解產(chǎn)生影響，只要保證浮點解映射成整周模糊度不出錯誤，就可以從整周模糊度的候選解中識別出正確的整周模糊度，進(jìn)而獲得高精度的姿態(tài)角。具體流程如圖4所示。該流程中，有兩個關(guān)鍵點，(1)必須保證整周模糊度的候選值包含著正確解，(2)能夠有效地識別出該正確解。這里先假設(shè)模糊度候選值含有真值(具體方法后文將給出)，討論識別算法。對于正確的整周模糊度，用其求得的基線向量，具有如下特征：

圖4 提高算法成功率的流程圖

(1)基線長度與真值的誤差很小。

(2)最小二乘殘差最小或者接近最小。

(3)對于地面載體，基線向量的俯仰角通常一般在±10°之間。

因此，可以首先按照適應(yīng)度大小對模糊度候選解排序，然后根據(jù)特征(1)-特征(3)對模糊度候選解進(jìn)行篩選，逐步縮小候選解范圍。

對于特征(1)，若候選解得到的基線長度滿足關(guān)系l?δl≤≤l+δl ，則保留該候選值，否則暫不考慮。其中，δl=0.01l 。圖5為上例第119個歷元利用基線約束對模糊度進(jìn)行篩選的結(jié)果，其中，兩條平行線代表了基線長度的上下界，位于其間的候選點需進(jìn)行特征(2)，特征(3)的后續(xù)篩選。如果找不到候選解，則需要擴(kuò)大δl的范圍，重新進(jìn)行特征(1)-特征(3)的篩選。若只用特征(2)篩選候選解，相比特征(2)，特征(3)同時考慮，成功率略有下降。下面討論如何盡可能保證模糊度候選值包含著真實的整周模糊度。由4.3節(jié)可知，雙星解析法中不同的衛(wèi)星組合，對候選姿態(tài)角會產(chǎn)生不同的誤差，當(dāng)噪聲過大時，將影響到整周模糊度。仰角過低(＜20°)的衛(wèi)星的測量噪聲易偏離正態(tài)出現(xiàn)異常值，所以雙星解析法應(yīng)先對其剔除，然后采用如下步驟進(jìn)行選星：

(1)計算各衛(wèi)星與參考星的單位矢量差(si?sk)的方位角αik和俯仰角βik。

(2)根據(jù)上一歷元解算的航向角ψ，篩選出αik＜ψ＜αjk或αik＞ψ＞αjk的(i, j)組合。

(3)然后針對上述組合，分別計算T1(i, j)=篩選出最大的衛(wèi)星組合。

圖5 通過基線長度篩選模糊度候選值

例如，對上例應(yīng)用選星算法，得到表3的幾種組合，可見第2顆和第3顆衛(wèi)星組合的效果最好，其真實姿態(tài)角的適應(yīng)度為0.93826，且越大，則適應(yīng)度越好，進(jìn)而說明模糊度浮點解的精度越高，那么映射成整數(shù)解的出錯概率越小，即模糊度候選值中包含正確的整周模糊度的概率也越大。

表3 第119 s數(shù)據(jù)選星算法結(jié)果

6 實際數(shù)據(jù)測試

為測試改進(jìn)算法的成功率，分別進(jìn)行了3組實驗，接收機(jī)的OEM板采用NovAtel公司的SuperStar II，第1組數(shù)據(jù)采用扼流圈天線，具有抗多徑功能，第2，3兩組數(shù)據(jù)采用普通GPS天線。每組數(shù)據(jù)均隨機(jī)連續(xù)選取400個歷元，分別采用原算法和改進(jìn)算法進(jìn)行姿態(tài)解算，實驗結(jié)果如表4所示。

表4 算法成功率比較

從上述結(jié)果可以看出，采用扼流圈的天線成功率明顯高于普通天線，這說明噪聲對姿態(tài)解算結(jié)果的影響很大；采用俯仰角約束的姿態(tài)解算成功率明顯優(yōu)于無俯仰角的情況，可以用該約束條件提高地面載體姿態(tài)解算的成功率；對于3組數(shù)據(jù)，改進(jìn)算法的成功率均明顯優(yōu)于原算法的成功率。

7 結(jié)束語

基于球面交點的模糊度函數(shù)法是一種單歷元載體姿態(tài)的算法，與原模糊度函數(shù)法相比，計算量大大減小，但未提高算法成功率，同時又要求兩臺接收機(jī)采用公共時鐘。本文研究了原算法在雙差模型下的表達(dá)形式，克服了采用公共時鐘的限制，然后對噪聲的統(tǒng)計特性和誤差傳播特性進(jìn)行了分析，提出了一種改進(jìn)算法，削弱了觀測噪聲對姿態(tài)角解算的影響。實際數(shù)據(jù)測試表明，改進(jìn)算法可以有效地提高姿態(tài)解算的成功率。

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