環Fpm +uFpm 上長為pk 的循環碼計數

朱士信 丁 健

(合肥工業大學數學學院 合肥 230009)

1 引言

循環碼的結構研究是糾錯碼研究的核心問題之一，對環Fq+uFq+…+uk?1Fq上的糾錯碼的研究是近年來糾錯碼研究的熱點(q為素數p的方冪)。文獻[1]利用環Fq+uFq上的線性碼進行了格的構造；文獻[2]等利用環Fq+uFq上的碼通過線性碼的Gray映射找到了一大批Fq上的最優碼；文獻[3]給出了環Fq+uFq上關于厄米特內積的線性碼的自對偶碼計數公式；文獻[4]研究了Fq+uFq+…+uk?1Fq上單根循環碼及其對偶碼的結構。大量文章研究了含幺有限交換環上的單根循環碼及其對偶碼的結構，而重根循環碼的研究相比較還很不完善。文獻[5]給出了環F2+uF2的擴環上長為2e的循環碼計數；環Fq+uFq上任意長度的循環碼的結構在文獻[6]中得到闡述。本文將研究環Fpm+uFpm上長為pk的循環碼的結構和計數，并給出了該環上長pk的循環自對偶碼的充要條件。

2 基本概念

令R=Fpm+uFpm，其中p為素數，u2=0，σ是從Rpk到Rpk滿足σ(r, r,…,r)=(r,r, r,01pk?1pk ?101…,rpk?2)的映射，若σ(C)=C 則稱C是R上長為pk的循環碼。本文把稱為碼字(r, r,…,r)的多項式表示，令S=R[ x]/(?1),01pk?1則C是R上長為pk的循環碼的充分必要條件為C是S上的理想。

定義1[7]令C是S上的理想，稱Ann(C)={f(x)∈S|f(x) g(x)=0,?g(x)∈C }為C的零化子。

定義2[7]若∈S ，定義f(x)與g(x)的點積為f(x)?g(x)=。若C是S上的任意理想，定義C的對偶理想為C⊥={f(x)∈S|f(x)?g(x)=0,?g(x)∈C } 。若C=C⊥，稱C是自對偶的。

3 S中的理想計數

文獻[6]研究了環Fq+uFq上任意長度的循環碼的結構，有如下引理：

引理1[6]設C是S上的任意理想，其中q為素數p的方冪，則存在唯一的滿足a(x)|g(x)|(?1)，dega(x)＞degp(x)的Fq[ x]中的一組多項式a(x)，

由上面的引理得到本文的一個重要定理。

在定理1中我們給出了S中的理想C的唯一表示，為了與其它表示相區分，記為

定理2 令01(1)(),(1)TTCxuh xu x=＜＜?+?＞＞，則

可令Y(x) = f (x)+ut(x) ∈ R[x ]，其中

tf∈Fj=0,1,,pk?1…，因為01T≥T，所以

若T1≥1，0kT=p，由定理1的注知

若T1≥1，0kT＜p，則

所以＜(x?1)0()T+uh x＞中有0()1kmpTp??個元素與1(1)Tu x＜?＞元素互異且00(1)+(),Txuh x∈＜?＞所以

若T1=0，則()0 h x=，與T1≥1時討論類似，易得

由式(2)，式(3)可知012||()kmpTTCp??=。

(2)由Ann(C)及理想的定義易得Ann(C)是S中的理想，又因為

由式(1)，定理2的(1)及文獻[8]的定理5.3的證明可知

即|||()|DAnn C=，由式(4)可知

注： 由式(5)知又由式(1)可得

記τ為S里的所有理想，則我們有下面的定理。

證明 ?C∈τ，由定理1知存在唯一的T0，T1及h(x)使得

由定理2的(2)理想C存在唯一的零化子

若C1, C2∈τ且C1≠C2，顯然Ann(C1)≠Ann(C2)。而當T0+T1≤pk時，pk?T1+pk?T0≥pk即Φ是單射；當T0+T1≥pk時，pk?T1+pk?T0≤pk即Φ是滿射，所以Φ是一一映射。 證畢

由定理3可知只需求出A中的理想數目就可以求出S上的所有理想數目。

定理4 C=＜＜(x?1)T0+uh(x),u(x ?1)T1＞＞是A中的理想充分必要條件為

證明 由定理1，定義1及A的定義可知必要性是顯然成立的。要證明充分性，只需證明10(1)|()(1)kTpTxh xx???。事實上，當T1=0時顯然成立；當T1≥1時，因為01kTTp+≤即1(1)Tx?0|(1)kpTx??，所以對于任意的mjp h∈F，0,1,,j=…11 T?，都有1(1)T|x?0()(1)kpTh xx??成立。 證畢

由定理4我們可得下面的推論。

推論1 若01TTd+=，kd≤p，則S上所有的互異理想數目其中/2 nd=，即d/2的整數部分。

證明 若T1=0，此時只有唯一的理想＜＜(x?1)d,u＞＞；若T1≥1，有1(m)Tp個不同的h(x)=而100TT≤≤，01T+T d=，所以1/2 Tdn≤=，所以

由定理3及推論1可得S上的所有互異理想數目。

推論2 S上的所有互異理想的數目

4 S中的對偶理想及自對偶理想

定理5 令C是S上的理想，則(())Ann Ann C C=。

證明 令C是S上的理想 由零化子的定義可知(())CAnn Ann C?，而由式(5)可知

由定理2的注知而由定理5及定理3可知只需求出A中的所有理想的對偶就可以得到S上的所有理想的對偶。令p為素數，δ(p)=那么有下面的定理。

定理6 令C是A中的理想且0(1)TC=＜＜x?1(),(1)Tuh xu x?＞＞，則+

證明 由定理2的(2)知

當T1≥1時，由定理1可設顯然包含元素所以

將B中的x用(x?1)+1替換，同時去除u(x?1)j,j≥pk?T0可得

與定理2的(2)中證明類似可證得B滿足定理1的條件即

當T1=0類似可證得C⊥=＜＜(x ?1)pk?T1, u(x?1)pk?T0＞＞，此時l(x)=0。證畢

下面分析一下S上的自對偶理想。令C=＜＜(x?1)T0+uh(x),u(x ?1)T1＞＞是S上的自對偶理想，由定理2的(1)及|C|=|C⊥|=p2pk/|C |可得T0+T1=pk，所以由定理6可設C⊥=＜＜(x ?1)T0?ul(x),u(x ?1)T1＞＞，所以C=C⊥?T0+T1=pk，且h(x)=?l(x)。

當T1=0時h(x)=0=?l(x)；

當T1≥1時，由h(x)=?l(x)可得

令T1×T1矩陣

所以當1≥1 T時，且M

定理7 令ω是矩陣01(,)M T T在mpF上的零化度，那么τ上T1≥1的自對偶理想個數

推論3 令p=3，下面列出了k=1和k=2時S上的所有自對偶理想：

5 結束語

[1] Bachoc C. Application of coding theory to the construction of modular lattices [J]. Journal of Combinational Theory Series A, 1997, 78(1): 92-119.

[2] Gulliver T A and Harada M. Codes over F3+uF3and improvements to the bounds on ternary linear codes [J].Designs, Codes and Cryptography, 2001, 22(1): 89-96.

[3] Gaborit P. Mass formula for self-dual codes overZ4and Fq+uFqrings [J]. IEEE Transactions on Information Theory, 1996, 42(4): 1222-1228.

[4] Qian J F, Zhang L N, and Zhu S X. Cyclic codes over Fq+uFq+…+uk?1Fq[J]. IEICE Transactions on Fundamentals, 2005, 88(3): 795-797.

[5] Dinh H Q. Constacyclic codes of length over 2sgalois extension rings ofF2+uF2[J]. IEEE Transactions on Information Theory, 2009, 55(4): 1730-1740.

[6] 李平，朱士信. 環Fq+uFq上任意長度的循環碼[J]. 中國科技大學學報，2008, 38(12): 1392-1396.Li Ping and Zhu S X. Cyclic codes of arbitrary lengths over the ring Fq+uFq[J]. Journal of University of Science and Technology of China, 2008, 38(12): 1392-1396.

[7] Kiah H M, Leung K H, and Ling S. Cyclic codes over GR(p2,m) of length pk[J]. Finite Fields and their Applications, 2008, 14(3): 834-846.

[8] Dougherty S T and Ling S. Cyclic codes over Z4of even length[J]. Designs, codes and cryptography, 2006,39(2): 127-153.