SH波入射時非等腰三角形結構與基礎相互作用

邱發強，王慧文，王 雪

(1.中南大學土木建筑學院，長沙410075，rainy95@sina.com;2.廈門市建筑科學研究院集團股份有限公司，福建廈門361004;3.黑龍江工程學院，哈爾濱150050;4.東北林業大學，哈爾濱150040)

近年來，與基礎和結構相互作用相關的分析方法有了很大的發展［1］.研究范圍也從高層建筑逐步擴展到核電站的反應堆建筑、水壩、海洋平臺、橋梁等一系列建筑物［2］.建立二維反平面模型的波動方程，解決建筑物與基礎的相互作用問題已經取得了不少成果［3－8］.

本文利用波動方程的復變函數理論［9］，采用移動坐標的方法求解了非等腰三角形壩體結構與基礎相互作用的問題，給出了分析例題和數值結果.

1 問題的表述

非等腰三角形結構如圖1所示，圖中三角形凸起頂點記為O1，兩邊邊界分別記為DA，DB，坡度分別為1:n1，1:n2(n1

圖1 非等腰三角凸起結構示意圖

圖2 模型分區示意圖

2 非等腰三角形區域內的駐波

在I區內，以三角形頂點O1和底邊中點O為原點分別建立Cartesian坐標系，記為X－O－Y，X1－O1－Y1，分別對應復平面和其中O1x1軸為頂角平分線，如圖1所示.在區域I內構造的滿足三角形斜邊應力自由的駐波函數WD可表示為

式(1)，(2)中，

式(2)即為在區域I中，滿足斜邊應力自由的駐波函數，其相應的應力表達式為

其中:

3 區域II內的波函數

在區域II內，滿足半空間表面應力的自由散射波W(S)及相應的應力為

其中:

而入射波和反射波及相應的應力可寫為

4 問題求解及定解方程組

根據“契合”思想，在公共邊界D上應該滿足位移和應力連續條件.即

利用位移和應力的正弦、余弦部分一一對應關系進行傅里葉展開，有

其中:

5 地面位移幅值

由于入射SH波的作用，區域I內的駐波為WD，而彈性半空間區域II中的總波場則可以寫成

而入射波的頻率ω可與區域I中半圓的半徑a組合成為入射波波數，即入射波波數為

6 算例及結果分析

作為算例，假設三角形底邊的一半a=1.0，y/a=±1表示凸起地形與水平面的相交位置，y/a= Δ對應著凸起地形的頂點，而|y/a|<1.0和|y/a|> 1.0則分別代表凸起地形和水平面上各點的位移幅值.

圖3和圖4分別給出了結構相對基礎較“軟”(ρD/ρS= 2/3，μD/μS= 1/6)和 較“硬”(ρD/ρS=3/2，μD/μS=6)情況下，η=0.5的入射波以α=0°，45°，90°入射，頂角138.2°，Δθ=θB－θA=10°或20°的結構內各特征點的位移幅值;圖5和圖6則分別給出了結構相對基礎較“軟”和較“硬”情況下，入射波以α=0°入射，頂角138.2°，Δθ=10°或20°的壩體結構表面位移幅值變化三維圖.

圖3 相對基礎較＂軟＂的結構位移幅值

圖4 相對基礎較＂硬＂的結構位移幅值

圖5 垂直和水平入射時相對基礎較＂硬＂的結構表面位移幅值三維圖

圖6 垂直和水平入射時相對基礎較＂軟＂的結構表面位移幅值三維圖

1)當SH波垂直入射時，圖3和5表明“軟”結構的地表最大位移幅值總是出現在頂點附近(Δθ= 10°，y/a=0.3;Δθ=20°，y/a=0.5);圖4和6表明“硬”結構的地表最大位移幅值則總是出現在頂點的左側結構表面(對于Δθ=10°，－1.0≤y/a≤0.3;對于Δθ=20°，－1.0≤y/a≤0.5).

2)由圖5到圖6可知，“軟”壩結構的表面位移幅值遠遠大于“硬”壩.當Δθ=10°時，“軟”、“硬”壩結構的|W|max分別為15.2和3.73且都出現在α=90°，相差4.075倍;當Δθ=20°時，“軟”壩結構的|W|max為11.35(α=0°)和“硬”壩為3.49(α=90°)相差3.25倍.

7 結論

1)對于非等腰三角形結構，波數、入射角等入射波的物理參數對結構表面位移的影響非常顯著.結構對SH波在彈性空間傳播的影響突出，較“軟”的結構相對較“硬”的結構吸收“能量”較多，反射“能量”水平差，從而影響結構表面位移幅值大小差異及出現地點的不同.

2)本文提供的方法理論上沒有問題，但采用的計算方法適用于三角形頂角＞60°的情況，頂角越大精度越高.頂角＜60°的情況需要另外研究其計算方法.

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［9］邱發強，劉殿魁.SH波入射時柔性基礎上等腰三角形壩體結構的出平面反應［J］.地震工程與工程振動，2006，26(4):9－17.