一道高考試題的幾種解法

甘肅省白銀市銀光中學（730900） 裴萬平

一道高考試題的幾種解法

甘肅省白銀市銀光中學（730900） 裴萬平

題目 （2010年全國卷Ⅱ，39（3）） 下圖所示天然氣管道長度約為（提示：sin45°≈0．71）

A．1300 km B．1800 km C．1000 km D．2100 km

參考答案：B

解析

該題要求估算天然氣管道的長度，圖中卻沒有提供相應的比例尺，顯然是在考查一個重要的知識點，即赤道周長約為4萬千米。由此知識點可以推導出兩個簡單而又實用的結論：① 緯度相隔1°的經線段長度約為111km；② 經度相隔1°的緯線段長度約為111km· cosα（α表示緯度）。結論①或②的應用，已成為多年來高考重點考查的能力之一，例如2003年的江蘇卷、2004年的北京卷、2005年的全國卷、2007年的海南卷和2009年的寧夏卷均有考查。不同于今年的是，往年的此類試題雖說沒有“提示”，但因難度適中，一般的考生都能得分。今年的試題特意增設了“提示”，主觀上是為降低題目的難度，客觀上反而給部分考生的正常解答造成了一定的干擾，這是因為：該題最有效的解法是直接應用結論①，不用cosα，更不用sinα，然而命題人給了“提示”，為慎重起見大部分考生不得不看、不得不想，這無形中浪費了考場上寶貴的時間。另外，類似cos45°（其值等于sin45°）的特殊值應是考生必備的數學常識，“提示”的必要性不大。從此意義上講，該題的“提示”純屬多余。

下面，談一談該題的四種解法。其中，解法一最優，解法二次之，解法三耗時多，解法四也可用。

解法一：核心思想——應用結論①，即“緯度相隔1°的經線段長度約為111km”。用完整的草稿紙邊量得天然氣管道的長度約等于緯度相隔16°的經線段長度，即111km×16＝1776 km。B項正確。

解法二：核心思想——應用結論②，即“經度相隔1°的緯線段長度約為111km·cosα”。用完整的草稿紙邊量得天然氣管道的長度約等于經度相隔23° 的45°N緯線段的長度，即111km×0．71×23＝1812．63 km。B項正確。

解法三：核心思想——應用結論①和②，即“緯度相隔1°的經線段長度約為111km”和“經度相隔1°的緯線段長度約為111km·cosα”。以天然氣管道的長度為斜邊，在地圖上構建（近似）直角三角形，用完整的草稿紙邊量得較短直角邊的長度約等于緯度相隔5°的經線段長度，即111km×5＝555 km；同樣方法量得較長直角邊的長度約等于經度相隔19°的45°N緯線段的長度，即111km×0．71×19＝1497．39 km。通過三角公式計算得知斜邊的長度約為1597 km，因天然氣管道彎曲，其實際長度要大于此數，故B項正確。

解法四：核心思想——逆用結論①，即“經線段的長度（單位：km）除以111km約等于緯度差”。A項1300 km÷111km≈11．71；B項1800 km÷111km≈16．22；C項1000 km÷111km≈9；D項2100 km÷111km≈18．92。用完整的草稿紙邊量得天然氣管道的“長度”約等于緯度相隔16°的經線段長度，故B項正確。