分光計相關實驗中有效數字的處理辦法

蔣衛建 方本民 陳守川

(浙江大學寧波理工學院公共基礎部 浙江 寧波 315100)

1 引言

分光計是一種測量光線之間夾角的精密儀器，是光學實驗中的一種基本儀器，其調整方法在光學實驗中具有一定的通用性.所以物理實驗課程中，通常設有多個使用分光計的實驗，主要有用反射法或自準直法測量三棱鏡頂角，利用光柵衍射測量原子譜線波長，利用最小偏向角測量色光折射率[1～2]等.在處理這些實驗的結果時，要涉及到角度、分、秒的60進制、三角函數運算等.而大多數物理實驗教材緒論示例中僅局限于加減乘除四則運算和一些簡單情況下的有效數字處理問題的介紹.這樣，很多同學對最終結果如何取舍有效數字多有疑慮.

本文以JJY1′分光計為例，說明相關實驗中有效數字的處理辦法.JJY1′分光計的儀器允許誤差是1′[3].處理有效數字的原則是根據儀器允許誤差估計出測量結果的不確定度，根據不確定度來取舍測量結果的有效數字.

2 測量三棱鏡頂角

用反射法或自準直法多次測量三棱鏡的頂角.在計算每次測量的頂角、頂角的平均值、標準差、不確定度時，要涉及到加減乘除、乘方開方運算.很多同學在運算過程中，將“分”化為“秒”來計算.因為“分”化為“秒”是60進制，所以通常所用的“單位換算不改變有效數字的位數”、“四舍六入五偶”的規則有時會碰到問題.

考慮到儀器的允許誤差，那么計算結果只需要保留到與儀器允許誤差相當的精度.根據JJY1′分光計的儀器允許誤差是1′，估計測量頂角的不確定度ΔA=1′.這樣，計算過程中可以避開引入“秒”這個單位，而始終采用“分”作單位，允許有小數.最終結果保留到“分”，中間結果可以多保留一位.例如，60°1.3′，79.5′等等. 如若要化為弧度計算，因為儀器允許誤差為

所以結果只需保留到小數點后4位.

3 利用光柵衍射測量原子譜線波長

光柵方程是

dsinθ=kλ k=±1,±2,±3,…

其中d是光柵常量，k是衍射級別， θ是衍射角. 解出波長

測量衍射角即可計算波長.

多數物理實驗教材給出波長的參考值，例如綠線546.1nm，要求同學將計算結果與參考值比較，計算百分差.同學對測量結果的不確定大小、有效數字如何取舍并不了解. 可以根據儀器允許誤差來估算不確定度，從而確定有效數字的取舍辦法.

例如，實驗中光柵的光柵常量是

實驗測得綠線的1級衍射角為

θ=9°26′

根據傳播公式Δλ=dcosθ·Δθ 和儀器允許誤差Δθ =1′ ，估計測量波長的不確定度為

Δλ=1.0nm

所以計算波長只需保留到0.1nm即可.最終結果可表示為

λ=(546.3±1.0)nm

也可以這樣考慮，因為儀器允許誤差為Δθ =1′，所以測量衍射角應該處于9°25′和9°27′ 之間.而

dsin9°25′=545.376nm

dsin9°26′=546.333nm

dsin9°27′=547.289nm

所以波長取為λ=546.3nm是合適的.

當然也要考慮光柵本身的分辨本領，其定義為

.

其中N是光柵條紋總數，可根據通光孔徑22mm、光柵常量計算.由此估算光柵可分辨的最小波長差為

這比儀器允許誤差帶來的影響小一個數量級.

可以看到光柵常量越小、衍射級別越大、衍射角越大，則測量波長的不確定度就越小.也可以看到用

的光柵，可以分辨鈉燈雙黃線(589.0nm和589.6nm)，但若要較準確測量鈉燈雙黃線的波長，建議改用

的光柵，并選擇高級別的干涉條紋測量.

4 利用最小偏向角測量色光折射率

測量折射率的公式是

其中A是三棱鏡頂角， θmin是最小偏向角.同樣，可以根據儀器允許誤差來估算不確定度，從而確定有效數字的取舍辦法.若測得綠線的θmin= 51°28′，三棱鏡頂角A=60°1′.根據儀器允許誤差Δθmin=1′,ΔA=1′ .對n求全微分，有

要得到不確定度傳播公式，應將其中的微分符號“d”改為不確定度符號“Δ”，并將減號改為加號，結果有

將數值代入，得

Δn=0.000 5

所以，n的計算結果只需保留到小數點后4位即可.如最終結果表示為

n=1.652 6±0.000 5

實驗所用的三棱鏡材料為ZF1，對鈉燈D線(λD=589.29nm)的折射率為

nD=1.647 5

對氫燈F線(λF=486.13nm)和C線(λC=656.28nm)折射率差為

nF-nC=0.019 12

可以看到折射率差0.019 12比分光計帶來的不確定度0.000 5大很多，可用分光計測量各色光的折射率.

5 小結

本文以與分光計相關的實驗為例，根據儀器的允許誤差、不確定度傳播公式可以估計結果的不確定度大小，從而確定計算過程和結果的有效數字處理辦法.

參考文獻

1 陳守川，杜金潮,等.新編大學物理實驗教程(第二版).杭州：浙江大學出版社，2009.134～141，221～223，364～365

2 丁慎訓，張連芳.物理實驗教程(第三版).北京：清華大學出版社，2002.202～211，239～243