非線性系統的多項式近似表示及電力系統應用（Ⅱ）——應用篇

孫玉嬌， 劉鋒， 梅生偉

（清華大學電機系電力系統國家重點實驗室，北京 100084）

0 引言

在電力系統暫態穩定分析方法中，時域仿真法受系統規模及計算速度的限制，難以提供定量分析的相關信息;而直接法則可避免大量的積分過程，可利用系統的自身結構及動態特性來分析電力系統暫態穩定性，但其缺點是受系統模型的限制。

直接法中存在兩個關鍵性問題:一是平衡點求取;二是穩定域邊界近似。其中，平衡點求取是直接法中的關鍵，目前雖然已提出多種方法［1－10］，但卻仍是一個未能解決的難題，主要原因在于:1）電力系統中平衡點個數為無限個;2）無法確定電力系統暫態穩定域邊界上平衡點個數及分布情況。

為克服平衡點求解的困難，文獻［11］提出了利用多項式近似系統研究電力系統平衡點及其穩定域邊界近似的方法，并在理論上證明了該方法的合理性。本文結合多項式系統平衡點求解的優勢及電力系統自身的特點，利用多項式近似系統研究原系統的平衡點及穩定域邊界近似，并以一個單機無窮大系統及一個三機系統為例，驗證了所提方法的有效性。下面將分別介紹電力系統模型的多項式近似表示及多項式近似系統與原系統的關系，最后給出算例結果并得出結論。

1 電力系統模型的多項式近似表示

考慮一般的經典n機電力系統非線性模型對上述系統，在穩定平衡點（SEP）處進行s階Taylor展開，利用半張量積［12］方法，可得近似系統

式中:H1為系統（1）在SEP處的一階導數，即傳統的Jacobi矩陣;Hk是系統（1）在 SEP處的k階導數，為2×2k維的二維矩陣，即式中:δeij= δei－ δej;01×2（k－1）表示 1 ×2（k－1）維且元素均為0的矩陣，稱其為0矩陣，是為文章表述方便而簡寫。本文其余用到0矩陣的地方，意義與此相同，不再作解釋。

可以看出，高維系統高階導數利用半張量積方法可進行方便的表達與操作，因此可克服傳統方法中對高維高階導數表達及操作困難的缺點。

由電力系統自身的特點及文獻［11］所述多項式近似系統與原非線性系統的關系可知電力系統模型的多項式近似系統有如下特點:a）在較大范圍內可保證良好的近似精度。通常Taylor展開的范圍局限為展開點（或平衡點）的一個鄰域，但電力系統模型主要包含正弦及余弦函數，對此類函數多項式可在較大范圍內實現很好的近似;b）在足夠高的近似階數下，多項式近似系統平衡點與原系統平衡點可任意接近［11］;c）在足夠高的近似階數下，多項式近似系統平衡點與原系統相應平衡點類型可保持一致［11］。

2 多項式近似系統平衡點的求解

目前，電力系統暫態穩定分析中平衡點的求取是一個難點，其主要原因在于穩定域邊界上平衡點總數及分布情況未知。而多項式系統則可在一定程度上減弱這一困難。原因如下:a）根據代數幾何理論，多項式系統實根個數或其上界可確定［13－14］;b）目前多項式求解算法已有深入研究，對于某些多項式系統存在有效方法求出其全部實根。多項式系統求解方法可分為代數方法及數值方法，二者均可求出多項式系統的全部根，但代數方法計算量大，不適用于大系統，而數值方法中的同倫法［15－16］（或稱連續法）則因其強大的理論基礎及計算優勢得到認同。最初同倫法路徑數由多項式系統根的最大個數——Bezout數決定，即由多項式系統中各多項式的最高階數之積決定，但實際系統中根的個數通常遠小于Bezout數，由此導致同倫法中大量路徑發散，引起不必要的計算支出，文獻［16］采用齊次化方法減少同倫路徑數從而提高計算速度并通過確定求解多項式系統全部根所需的最大路徑數來避免盲目求解，由此克服已有同倫法的不足。此外，同倫法目前已在并行計算中實現并可解決實際中較大系統的求解問題［17］。

由此可見，多項式近似系統由于其結構的特殊性，可以在平衡點求解上具有一定的優勢;而文獻［11］已經證明當近似階數足夠高時近似系統與原系統平衡點可以任意接近且類型保持一致，這就為我們利用多項式近似系統研究原系統的平衡點及穩定域邊界近似提供了理論基礎及技術上的可行性。

3 多項式近似系統的能量函數

對于s階近似系統（2），可構造其能量函數

4 算例分析

4.1 單機系統穩定性分析

1）單機系統的多項式近似表示

考慮如下的單機無窮大系統（D=0）·

系統存在一個SEP（0.729 1，0），一個不穩定平衡點（UEP）（2.412 5，0）。采用半張量積方法得到其在SEP處的s階近似系統

2）單機系統平衡點研究

對單機系統在SEP處分別作2～8階Taylor展開，得7個近似系統，比較各近似系統平衡點與原系統平衡點之間的關系如下:a）SEP相同，各近似系統均在SEP處Taylor展開得到，因此其SEP與原系統相同;b）UEP隨近似階數的增高與原系統UEP越來越接近，具體地，比較2～8階近似系統UEP與原系統UEP之間的誤差，得到如表1所示結果。從表中可見，隨近似階數的增高，近似系統UEP越來越接近于原系統UEP。同時，以近似系統UEP為初值對原系統UEP求解時原系統均能收斂到其UEP;因此，可利用近似系統UEP近似替代原系統UEP或為初值求取原系統UEP。

表1 單機無窮大近似系統與原系統UEP比較Table 1 Single-machine infinite-bus（SMIB）system’s UEP and its approximate systems’UEPs

3）單機系統能量函數的構造

對于近似系統（4），構造其能量函數

4）單機系統穩定域邊界刻畫

穩定域邊界近似通常有兩類方法:①基于等能量曲面近似穩定域邊界［1－2］，采用的是經過 Closest UEP的等能量曲面來近似系統的穩定域邊界，該方法具有一定保守性;② 利用穩定域邊界上的Controlling UEP的穩定流形的局部近似［18］或者等能量面來近似穩定域邊界，可減少保守性。

下面首先利用穩定流形局部近似法求單機無窮大系統及其5～7階近似系統的穩定域邊界局部近似。計算結果如圖1所示，其中UEP采用原系統的UEP。實線為原系統準確的穩定域邊界及其一次、二次局部近似。虛線分別為5～7階近似系統的穩定域邊界一次、二次局部近似。從圖1中可以看出:a）穩定流形局部近似在平衡點附近可較好地近似原系統的穩定域邊界;b）隨著近似階數的增高，近似系統穩定域邊界局部近似與原系統穩定域邊界局部近似越來越接近。

圖1 單機無窮大及近似系統穩定域邊界局部近似Fig．1 Local approximation of transient stability region boundary for SMIB system and its approximate systems

下面考慮用等能量函數曲面方法近似穩定域邊界。具體地，近似系統（4）穩定域邊界近似可取為過其UEP的能量函數曲線，即曲線 －c=0，其中c 為過 UEP 的能量值，即 c=|（δuep，ωuep）。

比較2～8階近似系統穩定域邊界與原系統穩定域邊界的關系，如圖2所示，其中實線為原系統穩定域邊界，虛線為各階近似系統的穩定域邊界近似。

圖2 單機無窮大及2～8階近似系統穩定域邊界比較Fig．2 Comparison of transient stability region boundaries between SMIB system and its 2nd-order to 8th-order approximate systems

由圖2可見:a）采用能量函數曲線近似系統穩定域邊界可在較大范圍內近似原系統穩定域邊界;b）采用能量函數曲線近似系統穩定域邊界時，隨著近似階數的增高，近似系統的穩定域邊界近似越來越接近于原系統的穩定域邊界。以上兩種方法驗證了利用多項式近似系統研究原系統穩定域邊界近似的合理性。

4.2 多機系統穩定性分析

1）三機系統的多項式近似表示

考察文獻［1］中的三機系統模型

2）三機系統平衡點的求取

三機系統（5）共13個平衡點，其中一個SEP，12個UEP，圖3給出了三機系統穩定域邊界在角度面上的投影，并標注了各平衡點的類型。

圖3 三機系統平衡點及暫態穩定域邊界Fig．3 EPs and transient stability region boundary of three-machine system

求取該系統在SEP處的13階近似系統，并求解其平衡點。圖4給出了13階近似系統與原系統平衡點的關系。其中，圓圈表示原系統平衡點，星形表示近似系統平衡點。從圖中標注的平衡點類型可以看出，近似系統與原系統平衡點類型一致。

圖4 13階近似系統與原系統UEP比較圖Fig．4 Comparison of UEPs between three-machine system and its 13th-order approximate system

分析圖4可知，系統（5）與近似系統（6）的平衡點有如下關系:a）SEP不變;b）近似系統與原系統UEP位置非常接近;c）近似系統雙曲UEP性質與原系統一致。這就驗證了文獻［11］所提到的近似系統與原系統的平衡點的關系，為利用近似系統研究原系統的穩定域邊界奠定了基礎。

3）三機系統能量函數的構造

對多項式近似系統（6），構造能量函數

4）多機系統穩定域邊界刻畫

與單機情況相似，本文基于穩定域邊界近似的兩類方法對13階近似系統進行了測試，得到如圖5和圖6所示的結果。

圖5 三機系統13階近似系統穩定域邊界二次近似Fig．5 Quadratic approximation of transient stability region boundary of three-machine system’s 13th-order approximate system

圖6 三機系統及其13階近似系統勢能界面Fig．6 Closest UEP’s potential energy boundary surface of three-machine system and its 13th-order approximate system

首先采用局部近似方法，利用穩定域邊界上所有1型UEP的穩定流形局部近似來構成整個穩定域邊界，結果如圖5所示，其中實線表示原系統穩定域邊界在角度面上的投影，虛線表示13階近似系統穩定域邊界的二階近似在角度面上的投影。從圖5可以看出，利用13階近似系統穩定域邊界的二階近似可以很好地近似原系統的穩定域邊界。

其次采用通過Closet UEP的等能量曲面來近似穩定域邊界，其結果如圖6所示，其中，實線為原系統過Closest UEP的等能量曲面在角度面上的投影，虛線為13階近似系統過Closest UEP的等能量曲面在角度面上的投影。由圖6可見，近似系統等能量曲面與原系統的等能量曲面非常接近。

由上述測試結果可以看出，利用高階近似系統的穩定域邊界近似可較好地近似原系統的穩定域邊界，因此可以考慮利用近似系統研究原系統的穩定域邊界。由于本文對原非線性系統的近似系統的求取及穩定域邊界的近似刻畫均采用了半張量積方法，可方便地利用計算機自動實現不穩定平衡點的計算和能量函數的構造，有望實現電力系統暫態穩定分析全過程的“自動化”。

5 結論

利用半張量積方法求得一般電力系統非線性模型的多項式近似系統，并通過分析表明利用多項式近似系統分析原系統的平衡點及穩定域邊界近似是可行的，從而可在電力系統暫態穩定分析中充分利用多項式系統在分析與計算上的優勢。對單機無窮大系統及三機系統的仿真試驗驗證了本文所提方法的有效性。從某種意義上講，將一般非線性系統表述為多項式系統，也是一種有效的“約化”。但必須說明的是，雖然多項式系統是一類“最簡潔”的非線性系統，但其分析與計算仍然是困難的。本文的工作只是一個初步嘗試，下一階段的重點是充分利用代數幾何等先進數學工具，最大程度地提高半張量積方法的工程實用性。

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（編輯:張靜）