提高衛星姿態機動性能的后步法與LPV控制

曾鳴， 王佳

（哈爾濱工業大學空間控制與慣性技術中心，黑龍江哈爾濱 150001）

0 引言

現代的衛星經常需要進行快速大角度姿態機動來執行各種任務，由于角速度耦合交叉項的存在，這些快速姿態機動問題經常被歸結為非線性剛體動力學問題。過去的十多年當中，滑模控制［1］、線性H∞控制［2］和逆最優［3］等各種控制策略均被應用衛星姿態控制當中。近年來，后步法設計控制器策略［4］被應用到衛星姿態控制當中，這種控制器設計方法適用于各種級連系統，姿態控制系統即由動力學到子系統與運動學子系統組成的級連系統［5］。后步控制策略的遞歸設計步驟可解決非線性系統的控制問題，其解決全局穩定性問題的優點被廣泛采納，但存在的問題是不能保證某個輸出信號具有良好的暫態性能。

增益調度是一種很好的非線性控制器設計方法，且已被廣泛用于機器人控制和衛星控制當中［6］，增益調度設計方法能保證系統在某一操作空間內滿足性能指標的要求。基于增益調度設計方法的這一優點，一種被稱為線性參數可變（LPV）的增益調度系統化設計方法被研究人員廣泛關注［7］，該方法不僅設計方法系統化，而且能滿足穩定性和保性能兩方面的設計要求。LPV控制器設計理論能簡化常規的增益調度設計方法中的插值與實現問題;然而，LPV系統所滿足的的穩定性和保性能要求只局限于某一局部操作空間內。

近來一種用于提高非線性系統性能的混合控制策略被提出［8］，這種混合控制策略分別應用后步法和LPV控制的優點來彌補對方的不足，在保證非線性系統的全局穩定性的前題下，提高系統的局部性能。

本文將上述由后步法與LPV法設計的混合控制器首次應用到衛星姿態控制當中，設計的控制器既能保證系統的全局穩定性，又能提高系統的干擾抑制能力并改善系統的暫態響應性能。采用的平方和（SOS）數值計算方法彌補了文獻［7］中LPV控制器的求解不能得到全局解的不足。

1 衛星姿態運動模型

剛體衛星姿態動力學模型［5］為

式（8）為LPV形式的衛星姿態運動模型，則基于后步法和LPV法的混合控制在衛星姿態控制中應用問題可表述為:在平衡點以外的大部分軌跡空間內采用以模型（2）和（4）為基礎設計的后步控制器，當系統的狀態進入到平衡點附近的指定區間后，系統則采用以式（8）為基礎設計的LPV控制器來提高系統的局部性能，本文的性能提高是指從干擾到輸出的誘導L2范數小于某一預先給定值的暫態性能提高。

2 SOS分解與Lyapunov設計方法

一個多變量多項式f（x1， …， xn）是SOS，當存在一組多項式f1（x），…，fm（x）滿足

滿足上式條件的f（x1， …， xn）必然是非負的;因此，SOS分解為變量多項式非負定提供了充分條件，且等價與

式中:Q為一半正定矩陣;Z（x）為某一單項式向量。判斷一個多變量多項式為SOS比正定更容易計算，且用SOS代替非負定得到的計算結果更加精確［11］。

以下介紹基于SOS工具和Lyapunov方法的控制器設計過程。首先為了設計控制器，選定Lyapunov函數

這里 P ＞0;因此，V（x）＞0。

沿狀態空間方程對Lyapunov函數微分，得

若將式（10）代入式（8）所得閉環系統為漸近穩定，則多項式＜0。而判斷一個多項式是非負定問題是一個NP難題。采用SOS判斷多項式的非負定就很容易［9］。

若式（12）改為SOS約束條件，則使系統穩定的控制器設計問題可表述如下。

定義1 設計 P，K（x），ε（x），使得

傳統的LPV控制器設計最終都歸結為解一個參數依賴的線性矩陣不等式（PLMI）問題，而一般的數值仿真求解得到的均為參數可變線性矩陣不等式的局部解。若采用SOS方法來代替求解參數依賴的線性矩陣不等式的方法，可以得到全局解［10］。本文采用SOS方法來求解控制器。

3 基于后步法與LPV的混合控制器設計

為了提高系統的暫態響應性能，設計一種混合控制方法。首先采用后步法設計控制器將系統的初始狀態驅使進系統平衡點的某一鄰域內，然后切換到LPV控制器上來改善系統的局部暫態響應性能。

3.1 后步姿態控制器設計

對于式（2）和式（4）表示的衛星姿態控制系統，假設qd（t）為期望姿態軌跡，定義qe?q－qd為每一時刻的姿態四元數誤差，為了便于控制器的設計，這里重新定義新的變量，即

這里轉動慣量矩陣J被包含在系統動力學方程中，為將J分離出來，引入線性算子

3.2 應用LPV控制器提高局部性能指標

為了提高系統的暫態響應性能，設計一種混合控制方法。首先采用后步法設計的控制器將系統初始狀態驅使進平衡點的某一鄰域內，然后切換到LPV控制器上來改善系統的局部性能。

為了提高局部的暫態響應性能指標，首先需明確局部區域的范圍。選擇如下的橢球區作為LPV控制器的工作空間，即

以下稱式（22）所表示的集合為LPV控制器的工作區間。

對于式（8）用LPV形式表述的衛星姿態控制問題，設計目標是找到一個狀態反饋控制器 u=K（x）x，使得閉環系統為漸近穩定的，且從d到y的誘導L2范數小于γ。

定理2 對于系統（8）若存在一個對稱矩陣Pl（x）和一個常數 ε1＞0，以及一個 SOS ε2＞0，使得下列表達式均為SOS，即

定理1的證明過程參考文獻［11］。

4 仿真分析

以下實例用來驗證上述設計理論的可行性。仿真目標是把初始姿態為零的剛體衛星機動至某一給定姿態。這里選擇的剛體衛星的轉動慣量為

I=diag（300，320，250）（kg·m2）。初始角速度為零，初始姿態的歐拉角為 θ1=（0°，0°，0°），目標姿態的歐拉角為 θ0=（75°，－175°，70°）;初始姿態的四元數為（0，0，0;1），目標姿態的四元數為（0.6401，0.0614，0.0054;－0.7658），把初始數據代入式（13a）～（13c）中，給定姿態控制系統受到外部常值干擾為[1 1 1]T×10－3（N·m），對于式（19）表示的后步控制器選擇的增益為k1=1，k2=0.1，k3=0.02，對于式（20）的自適應律，選取

則式（19）表示的后步控制器為將初始數據代入式（8）中，選取定理1中的γ為4。應用參考文獻［9］中的軟件包SOStools求解出的LPV控制器為

仿真結果圖1為單獨應用后步法設計控制器的姿態控制系統在控制力矩存在干擾時，用四元數描述的姿態角的變化，計算出的從干擾d到姿態角輸出y的誘導L2范數為17.35。圖2為角速度的變化曲線。

圖1 應用后步控制器姿態四元數變化曲線Fig．1 Time history of attitude quaternion with back-stepping controller

仿真結果圖3為應用混合控制器的姿態控制系統在控制力矩存在相同干擾時，用四元數描述的姿態角的變化，計算出的從干擾d到姿態角輸出y的誘導L2范數為3.7。圖4為角速度的變化曲線。

應用混合控制策略的閉環系統不僅保證了系統的全局穩定性，關鍵是在系統狀態進入到穩定工作區后，系統的干擾抑制能力得到了提高，閉環系統從d到y的誘導L2范數不僅滿足了γ＜4的要求，而且要遠小于單獨使用后步法設計的控制器時此項指標值。

圖2 應用后步控制器角速度變化曲線Fig．2 Time history of angular velocity with back-stepping controller

圖3 應用混合控制器姿態四元數變化曲線Fig．3 Time history of attitude quaternion with hybrid controller

圖4 應用混合控制器角速度變化曲線Fig．4 Time history of angular velocity with hybrid controller

5 結論

提出了一種混合控制策略用于提高衛星姿態控制的性能指標。首先，用后步法設計控制器來保證衛星姿態機動過程系統全局魯棒穩定性，然后，應用基于LPV的非線性H∞控制策略來提高系統的局部性能。在系統平衡點以外的大部分空間內使用后步法控制策來保證系統的穩定性，當系統的狀態軌跡進入到平衡點附近區域后則將非線性的系統視為LPV系統，進而采用基于LPV的非線性H∞控制策略來提高系統的干擾抑制能力。仿真結果表明，應用混合控制策略既能保證系統全局穩定，又能提高系統的干擾抑制能力和改善暫態性能，從而避免了使用后步法造成系統性能差，使用LPV控制不能保證系統全局穩定的不足。后續的工作可以將此方法應用到撓性飛行器控制中。

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（編輯:張靜）