均勻拉伸的橡膠帶上任意一點的速度公式

項林川

(華中科技大學物理學院 湖北 武漢 430074)

有多篇文獻討論過有趣的“甲蟲和橡膠帶”問題[1～4].該問題可表述如下[4].

【題目】一條水平的橡膠帶長為L, 一端固定在墻上，另一端是自由端.今自由端以速度v0運動而將橡膠帶不斷地均勻拉長.同時，橡膠帶上的一只甲蟲從墻開始沿橡膠帶向自由端運動，甲蟲在橡膠帶上的速度始終為u，且u

文獻[2]通過解微分方程進行了求解，其中要用到甲蟲相對地面的速度，這里的關鍵是確定橡膠帶在被均勻拉伸的過程中其上任意一點的對地速度.那么，這個速度是如何得到的呢？文獻[2]并未給出具體過程.本文對此進行了討論.

需要指出的是，甲蟲在橡膠帶上的速度u實際上是相對于t時刻甲蟲所在點而言的，而同一時刻甲蟲相對于橡膠帶上其他點的速度并不是u[4].顯然，由于橡膠帶被均勻拉伸，橡膠帶上各個點的速度是不相等的;若是相等的話，橡膠帶不是被均勻拉伸，而是作整體平移.實際上，橡膠帶上任意兩點的速度都不相等，否則，這兩點之間的這段橡膠帶就不會被拉長.比如，橡膠帶的自由端和墻上的固定端的速度分別是v0和零.

為方便計，設t時刻橡膠帶上x處的質點相對地面的速度為v, 而x+dx處的質點相對地面的速度為v+dv, 并建立如圖1所示的坐標系.

圖1

考慮在t到t+dt的時間間隔內x到x+dx之間的這一小段橡膠帶的伸長量Δl，則Δl應正比于dx，即

Δl=αdx

(1)

并且，Δl還正比于x處和x+dx處的速度差dv，即

Δl=βdv

(2)

由(1)式和(2)式得

dv=γdx

(3)

對(3)式兩邊積分

(4)

可得t時刻橡膠帶上x處的對地速度為

v(x)=v(0)+γx

(5)

固定端的速度始終為零，即

v(0)=0

(6)

自由端的速度始終為v0，且在t時刻的坐標為L+v0t, 則由(5)式和(6)式可得

v0=γ(L+v0t)

(7)

因此，(5)式可寫為

(8)

至此，我們就得到了均勻拉伸時,任意t時刻橡膠帶上x處的對地速度.

另外，參照圖1，由于是均勻拉伸，長度相等的小段橡膠帶兩端處質點的速度差均應相等才行，即要求

(9)

其中C為常數.這相當于(3)式.所以，由(9)式可以得到與上面相同的結果.

其實，只要橡膠帶是均勻拉伸的，上述方法還可以推廣到自由端的速度隨時間變化的情形，即推廣到

v0=v0(t)

的情況.只需將(7)式改寫成

就可以把(8)式的結果推廣為

參考文獻

1 (俄)Alexander A. Pukhov著. 羅琬華譯.甲蟲和橡膠帶 —— 一個有意外解的問題(上). 大學物理，1995, 14(8):46

2 (俄)Alexander A. Pukhov著. 羅琬華譯，甲蟲和橡膠帶 ——一個有意外解的問題(下). 大學物理，1995, 14(9):42

3 朱洪玉.關于“甲蟲和橡膠帶“問題的最簡便解法 . 大學物理，1996, 15(7):44

4 項林川.“甲蟲和橡膠帶”問題新解 . 大學物理，2007, 26(6):24～25