源于惠更斯碰撞理論的高考試題探析

劉立雪

(天津市寶坻區第一中學 天津 301800)

1 惠更斯碰撞理論

惠更斯從1652年開始研究彈性物體之間的碰撞，1656年把自己的結果收集在論文《論碰撞作用下物體的運動》中.下面對惠更斯碰撞理論作出簡要介紹.

1.1 三個假設(公理)

(1)任何運動物體只要不遇障礙，將沿直線以同一速度運動下去.

(2)兩個相同的物體做對心碰撞時，如碰前各自具有相等相反的速度，則將以同樣的速度反向彈回.

(3)物體的運動以及它們的速度，必須看作是相對于另一些我們以為是靜止的物體而言的，而不必考慮這些物體是否還參與另外的共同運動.因此，當兩個物體相碰撞時，即使它們同時參與另一勻速運動，在也具有這個共同運動的觀察者看來，兩個物體的相互作用就好像不存在這個共同運動一樣.

1.2 三個實驗

(1)如圖1所示，兩個質量相同并以相同的速度相向運動的物體，在發生剛性的對心碰撞之后，都保留碰撞前的速度而相互彈開.

圖1 惠更斯碰撞實驗之一

(2)如圖2所示，一個靜止的球同一個質量相同的運動著的球碰撞后，后者立即停止，而原來靜止的球則獲得這一個速度前進.

圖2 惠更斯碰撞實驗之二

(3)惠更斯獨具匠心地設計了一個巧妙的理想實驗，如圖3所示.設船以速度u向右行駛.若船上的人在他的參考系內做圖1所示的實驗，則在岸上的人看來，碰前兩球以速度v+u和v-u相向運動；碰撞后兩球以速度v-u和v+u反彈.于是，惠更斯便得到了相同的球以不同的速度做對心彈性碰撞，彼此將會交換速度的普遍結論.

圖3 惠更斯的想象：兩相等質量間的彈性碰撞

1.3 兩條結論

(1)兩個物體所具有的運動量在碰撞中都可以增多或減少，但是它們的量值在同一個方向的總和卻保持不變，如果減去反方向的運動量的話.

(2)兩個、三個或任意多個物體的共同重心，在碰撞前后總是朝著同一方向做勻速直線運動.

2 高考試題探析

(1)待定系數β;

(2)第一次碰撞剛結束時小球A、B各自的速度和B球對軌道的壓力;

(3)小球A、B在軌道最低處第二次碰撞剛結束時各自的速度，并討論小球A、B在軌道最低處第n次碰撞剛結束時各自的速度.

解：(1)由

得

β=3

(2)設 A、B 碰撞后的速度分別為v1、v2，則

設向右為正、向左為負，依據動量守恒定律

解得

方向向左.

方向向右.

設軌道對 B 球的支持力為N， B 球對軌道的壓力為N′，方向豎直向上為正、向下為負．則

N′=-N=-4.5mg

方向豎直向下.

(3)設 A、B 球第二次碰撞剛結束時的速度分別為v1′、v2′，則

-mv1-βmv2=mv1′+βmv2′

解得

v2′=0

(另一組解：v1′=-v1，v2′=-v2不合題意，舍去)

由此可得:

當n為奇數時，小球 A、B 在第n次碰撞剛結束時的速度分別與其第一次碰撞剛結束時相同；

當n為偶數時，小球 A、B 在第n次碰撞剛結束時的速度分別與其第二次碰撞剛結束時相同.

【例2】(2007年高考全國理綜卷Ⅰ第24題)如圖4所示，質量為m的由絕緣材料制成的球與質量為M=19m的金屬球并排懸掛.現將絕緣球拉至與豎直方向成θ=60°的位置自由釋放，下擺后在最低點與金屬球發生彈性碰撞.在平衡位置附近存在垂直于紙面的磁場.已知由于磁場的阻尼作用，金屬球將于再次碰撞前停在最低點處.求經過幾次碰撞后絕緣球偏離豎直方向的最大角度將小于45°.

圖4

解：設在第n次碰撞前絕緣球的速度為vn-1，碰撞后絕緣球、金屬球的速度分別為vn和vn′，由于碰撞過程中動量守恒，碰撞前后動能相等.設速度向左為正，則

mvn-1=Mvn′-mvn

(1)

(2)

由(1)，(2)兩式及M=19m解得

(3)

(4)

第n次碰撞后絕緣球的動能為

(5)

E0為第1次碰撞前的動能，即初始能量.

絕緣球在θ0=60°與θ=45° 處的勢能之比為

(6)

式中l為擺長.

根據(5)式，經n次碰撞后

易算出(0.81)2=0.656,(0.81)3=0.531，因此，經過三次碰撞后θ將小于45° .

點評：本題以惠更斯碰撞實驗之二為題源，具體命制試題時主要進行了三處異化處理.

(1)將等擺長異化為不等擺長；

(2)將兩等質量間的彈性碰撞異化為兩不相等質量間的彈性碰撞；

(3)將重力場異化為復合場.試題命制的亮點是條件“已知由于磁場的阻尼作用，金屬球將于再次碰撞前停在最低點處”的巧妙設置——每次碰撞都出現在最低點，進而使試題蘊含遞推關系.

試題考查的重點是彈性碰撞過程中的兩個守恒定律，考查的難點是應用數學知識處理物理問題，特別是遞推關系的處理.

【例3】(2005年高考江蘇物理卷第18題)三個質量均為m的彈性小球用兩根長均為L的輕繩連成一條直線而靜止在光滑水平面上.現給中間的小球B一個水平初速度v0，方向與繩垂直，小球相互碰撞時無機械能損失，輕繩不可伸長.求：

(1)當小球A、C第一次相碰時，小球B的速度；

(2)當三個小球再次處在同一直線上時，小球B的速度;

(3)運動過程中小球A的最大動能EkA和此時兩根繩的夾角θ;

(4)當三個小球處在同一直線上時，繩中的拉力F的大小.

解：(1)設小球A、C第一次相碰時，小球B的速度為vB.考慮到對稱性及繩的不可伸長特性，小球A、C沿小球B初速度方向的速度也為vB，由動量守恒定律，得

mv0=3mvB

由此解得

(2)當三個小球再次處在同一直線上時，則由動量守恒定律和機械能守恒定律，得

mv0=mvB+2mvA

解得

三球再次處于同一直線.

另一組解

vB=v0vA=0

為初始狀態，舍去.

所以三個小球再次處在同一直線上時，小球B的速度為

負號表明與初速度方向相反.

(3)當小球A的動能最大時，小球B的速度為零，設此時小球A、C的速度大小為u，兩根繩間夾角為θ，則仍由動量守恒定律和機械能守恒定律，得

另外

由此可解得，小球A的最大動能為

此時兩根繩間夾角為θ=90°.

(4)小球A、C均以半徑L繞小球B做圓周運動.當三個小球處在同一直線上時，以小球B為參考系(小球B的加速度為零，為慣性參考系)，小球A、C相對于小球B的速度均為

v=|vA-vB|=v0

所以，此時繩中拉力大小為

點評：本題以惠更斯碰撞實驗之一為題源，具體命制試題時主要進行了兩處異化處理.

(1)將碰撞平面由豎直平面異化為光滑水平面；

(2)將擺的懸點異化為第三球.試題的命制亮點是本題的物理情景與圖3所述情況有異曲同工之妙.本題“懸點”的速度方向與兩球碰撞時速度方向垂直，而圖3中懸點的速度方向與兩球碰撞時的速度方向平行，試題的深刻思想是惠更斯碰撞理論中假設(3),即運動的相對性.

試題考查的重點是彈性碰撞過程中的兩個守恒定律，難點是周期性物理情景的建立.

【例4】(2007年高考重慶卷理綜卷第25題)某興趣小組設計了一種實驗裝置，用來研究碰撞問題，其模型如圖5所示.完全相同的輕繩將N個大小相同、質量不等的小球并列懸掛于一水平桿、球間有微小間隔，從左到右，球的編號依次為1,2,3,…N，球的質量依次遞減，每球質量與其相鄰左球質量之比為k(k<1) .將1號球向左拉起，然后由靜止釋放，使其與2號球碰撞，2號球再與3號球碰撞……所有碰撞皆為無機械能損失的正碰.(不計空氣阻力，忽略繩的伸長，g取10 m/s2)

圖5

(1)設與n+1號球碰撞前，n號球的速度為vn,求n+1號球碰撞后的速度;

(2)若N=5,在1號球向左拉高h的情況下，要使5號球碰撞后升高16h(16h小于繩長),問k值為多少？

(3)在第(2)問的條件下，懸掛哪個球的繩最容易斷，為什么？

解：(1)設n號球質量為mn,n+1號球質量為mn+1,碰撞后的速度分別為vn′、vn+1′, 取水平向右為正方向，據題意n號球與n+1號球碰撞前的速度分別為vn、0，又mn+1=kmn.

根據動量守恒，有

mnvn=mnvn′+kmnvn+1′

(7)

根據機械能守恒，有

(8)

由(7)、(8)得

其中vn+1′=0舍去.

設n+1號球與n+2號球碰前的速度為vn+1

據題意有

vn+1=vn+1′

得

(9)

(2)設1號球擺至最低點時的速度為v1,由機械能守恒定律有

(10)

(11)

同理可求，5號球碰后瞬間的速度

(12)

由(9)式得

(13)

N=n+1=5時

(14)

由(11)、(12)、(14)三式得

(15)

(3)設繩長為l,每個球在最低點時，細繩對球的拉力為F,由牛頓第二定律有

(16)

則

(17)

(17)式中Ekn為n號球在最低點的動能.

由題意1號球的重力最大，又由機械能守恒可知1號球在最低點碰前的動能也最大，根據(11)式可判斷在1號球碰前瞬間懸掛1號球細繩的張力最大，故懸掛1號球的繩最容易斷.

點評：本題以惠更斯碰撞實驗之二為題源，具體命制試題時主要進行了三處異化處理.

(1)將兩個球異化為N個球；

(2)將等質量間的彈性碰撞異化為不相等質量間的彈性碰撞；

(3)將球均在最低點靜止時無間隔異化為球均在最低點靜止時有微小間隔.試題命制的亮點是通過設置條件“球的質量依次遞減，每球質量與其相鄰左球質量之比為k(k<1) ”，使試題蘊含遞推關系，增強了試題的探究性.

試題考查的重點是彈性碰撞過程中的兩個守恒定律，考查的難點是應用數學知識處理物理問題，特別是遞推關系的運算.

圖6

【例5】(2008年高考寧夏卷理綜卷第33-2)某同學利用如圖6所示的裝置驗證動量守恒定律.圖中兩擺擺長相同，懸掛于同一高度，A、B兩擺球均很小，質量之比為1∶2.當兩擺均處于自由靜止狀態時，其側面剛好接觸.向右上方拉動B球使其擺線伸直并與豎直方向成45°角，然后將其由靜止釋放.結果觀察到兩擺球粘在一起擺動，且最大擺角成30°.若本實驗允許的最大誤差為±4%，此實驗是否成功地驗證了動量守恒定律？

解：設擺球A、B的質量分別為mA、mB，擺長為l，B球的初始高度為h1，碰撞前B球的速度為vB.在不考慮擺線質量的情況下，根據題意及機械能守恒定律有

h1=l(1-cos45°)

(18)

(19)

設碰撞前后兩擺球的總動量的大小分別為p1、p2.有

p1=mBvB

(20)

聯立(18)、(19)、(20)式得

(21)

同理可得

(22)

聯立(21)、(22)式得

(23)

代入已知條件得

(24)

由此可以推出

所以，此實驗在規定的范圍內驗證了動量守恒定律.

點評：本題以惠更斯碰撞實驗之二為題源，具體命制試題時主要進行了兩處異化處理.

(1)將兩等質量間的彈性碰撞異化為兩不相等質量間的彈性碰撞；

(2)將完全彈性碰撞異化為完全非彈性碰撞.試題的命制亮點是將實驗與理論巧妙結合起來,

試題條件是實驗可測物理量，試題的設問著眼于數據處理和分析.試題重點是考查機械能守恒定律.

3 結束語

經典實驗(題源)的特征是實驗裝置(儀器)非常簡單，實驗揭示的問題非常深刻.非常簡單意味著可以異化的因素非常多，命制試題的可操作性很強；非常深刻意味著可蘊含的物理規律往往是物理學的主干規律，命制試題的實效性很好.

顯然，在教學中要善于以經典實驗為素材，引導學生領略其中的奧妙，體會其中的物理美；同時也會使教學跳出題海，從而產生高屋建瓴之感.

參考文獻

1 郭奕玲,沈慧君.物理學史.北京：清華大學出版社,1993.42～43

2 趙凱華,羅蔚茵.新概念物理教程：力學.北京：高等教育出版社,1995.45～46