大射電望遠鏡索牽引并聯機構索力優化分析

黃 亮,朱文白,唐曉強,姚 蕊

(1.中國科學院國家天文臺，北京 100012;2.清華大學精密儀器與機械學系,北京 100084)

上世紀90年代初，國際天文學界提出建造大型射電望遠鏡計劃。經過不斷努力，中國科學家提出利用貴州天然的喀斯特洼地，建造目前世界上最大的單口徑射電望遠鏡——500m口徑球面天文望遠鏡(Five-hundred-meter Aperture Spherical Telescope)，簡稱FAST[1]。FAST望遠鏡饋源支撐系統主要有兩級調節系統協調完成饋源的定位和指向調整：一級調節系統由6根鋼索拖動饋源艙，實現饋源艙大范圍的空間掃描，并初步滿足觀測要求；二級調節系統由AB軸、Stewart平臺等部分組成，實現饋源精確定位和饋源姿態精整[2]。由高塔、鋼索和饋源艙組成的一級調節系統可視為巨型索牽引并聯機構。

索牽引并聯機構自提出以來，憑借結構簡單、工作空間大等特點，在起重、風動實驗等諸多領域得到廣泛應用[3]。為對索牽引并聯機構實施控制，獲得索長的準確信息是重要一環。很多索牽引并聯機構索長跨度小，在分析中將繩索構型簡化為直線。但在FAST望遠鏡中，鋼索跨度超過100m，鋼索的自重不能忽略，而呈懸鏈線狀[4-5]。在懸鏈線方程中，鋼索的索長和鋼索的張力構成非線性關系，因此需要使用迭代法求解[5-6]。在有的機構中將懸鏈線簡化為拋物線，通過引入Moore-Penrose廣義逆來迭代求解[7]。

在應用迭代法求解索長的過程中，迭代計算開始前需要確定迭代初值，迭代初值的選取對收斂性和迭代步數有很大影響。而且每一步迭代都要求解一個線性方程組，解算效率較低。為提高解算效率，簡化求解過程，本文提出一種線性簡化模型——贗曲線模型。經過比較精確的非線性模型和簡化模型的求解結果，說明了簡化模型在求解上的精確性和快速性，為實時控制和大規模的計算提供便利。另外，由于饋源位姿調整由兩級調節系統協作完成，在給定位置時，饋源艙體的姿態可在一定范圍內變化，饋源艙可以在不同姿態下求解對應的索力和索長。故而在給定位置下，索力可視為姿態的函數。這就為索力的優化提供了可能。為此，本文還以在給定位置處6根鋼索的索力值盡可能均勻分布為優化目標，對索力進行優化。

1 巨型索牽引并聯機構

巨型柔索并聯機構的基本結構如圖1。6座高塔Ti(i=1～6)均勻分布在反射面周邊，通過鋼索牽引饋源艙在饋源球冠面上運動。饋源艙上有3個鉸接點J1(J2)、J3(J4)、J5(J6)，每個鉸接點連接兩根鋼索，依次與高塔T1～T6對應。記與高塔Ti連接的鋼索為Ci，i=1～6。饋源艙下安裝AB軸與Stewart平臺。在完成子系統關鍵技術實驗后，中國科學院國家天文臺在密云建造了機構完整的50m FAST縮尺模型，并在此基礎上全面試驗和驗證FAST各項技術指標。

為便于描述，以反射面底部中心為原點O建立全局坐標系C1[X-Y-Z]，X軸指向高塔T1，Z軸指向天頂。以饋源重心為原點Ow建立與饋源艙體固連的艙體坐標系C2[Xw-Yw-Zw]，Zw軸與3個鉸接點組成的平面J1J3J5垂直，指向天空方向；Xw軸垂直于Zw軸，指向鉸接點J1。以鋼索Ci與饋源艙體的鉸接點Ji為原點OCi建立鋼索坐標系C3i[XCi-YCi-ZCi]，規定XCiOCiYCi平面與XOY平面平行，XCi軸指向對應的鐵塔Ti，ZCi軸與Z軸方向一致，其中i=1～6，共有6個鋼索坐標系。

圖2 艙體姿態角示意圖Fig.2 Illustration of the attitude angle of the feed cabin

饋源艙的位姿可以通過全局坐標系C1到艙體坐標系C2的齊次坐標變換得到：在C1系中，先繞Z軸旋轉角度θ，再繞單位向量f旋轉角度γ，最后平移向量r得到C2系。其中單位向量f在C1系中表示為(cosψ,sinψ, 0)，r=xwi+ywj+zwk，(xw,yw,zw)是Ow在C1系中的坐標，則變換矩陣可以寫為：

Q=Trans(xw,yw,zw)Rot(f,γ)Rot(Z,θ)

(1)

其中Rot(f,γ)是繞f軸旋轉角度γ的旋轉矩陣[8]。

若向量f和向量r垂直，則角度γ即為艙體的傾斜角，艙體的姿態可以用(ψ,γ,θ)來表示。當艙體重心坐標(xw,yw,zw)給定，即可根據向量f垂直于向量r得到角度ψ。根據FAST望遠鏡機構的布局和坐標系的建立方法，角度θ不隨艙體位置的變化而變化，始終為0.5236rad，即30°。

2 索力的解算和優化

2.1 鋼索的受力分析

以某一根鋼索為分析對象，省略下腳標i，記鋼索與饋源艙的鉸接點為B，鋼索在B處所受拉力為TB，HB和VB分別為TB的水平和豎直分量；鋼索與高塔定滑輪接觸點為A，鋼索在A處所受拉力為TA，HA和VA分別為TA的水平和豎直分量。鋼索除在A、B兩點受到拉力作用外，還要受自身重力作用，單位長度的鋼索所受重力為q，其受力情況如圖3。h和l分別為A、B兩點之間的豎直和水平距離，σ為TB與水平面的夾角。

圖3 鋼索的受力分析Fig.3 Force analysis of a steel cable used as a catenary

圖4 艙體的受力分析Fig.4 Force analysis of the feed cabin

鋼索的形狀可用不同的解析式來表達，為獲得準確的索長信息，選用懸鏈線準確的表達式描述鋼索形狀：

(2)

由(2)式可以得到鋼索的索長L：

(3)

進一步代換可得：

(4)

對A點列寫力矩平衡方程，可得到VB。記：

(5)

則鋼索拉力的豎直分量為：

(6)

VA=qL-VB

(7)

作為柔性件，鋼索不能承受壓力，只能受拉力。為避免鋼索虛牽，需給鋼索一個最小的預緊力Tmin[3]。同時鋼索的拉力不能無限增大，應小于拉力上限Tmax，故拉力應滿足：

Tmin

(8)

2.2 鋼索索力的求解

2.2.1 艙體靜平衡方程

(9)

以HB為未知數，將(5)、(6)兩式代入方程組(9)，整理得：

A6×6HB6×1=b6×1

(10)

其中:

式中ηi為第i個鋼索坐標系的XC軸與全局坐標系X軸的夾角；(xJi,yJi,zJi)為第i根鋼索與饋源艙鉸接點在全局坐標系中的坐標;

式中W為饋源艙所受的重力；(xw,yw,zw)為饋源艙艙體坐標系原點Ow在全局坐標系中的坐標；I為式(5)所表達的積分項。待求的6根鋼索索力水平分量組成列向量HB：

HB=[HB1HB2HB3HB4HB5HB6]T.

由于方程組(9)是在精確的懸鏈線方程基礎上得到的，因此稱該模型為懸鏈線模型。由(5)式可知，積分項I為λ的非線性函數，因此方程組(9)為非線性方程組，要解出TB，需要使用迭代法。

為了得到迭代初始值，首先將懸鏈線簡化為直線，有：

(11)

對比(6)式，(11)式實際上是將(6)式中的積分項全部拋棄后剩下的部分，稱這一簡化模型為直線模型。由此可以將非線性方程組簡化為線性方程組，整理得：

(12)

其中A即為式(10)中的A項，b′=[0 0WWywWxw0]T。

當給定饋源艙位姿時，即可列寫直線模型方程組(11)，求解得到直線模型索力水平分量HBL。初值HBL確定后，就可用迭代法求解非線性方程組[6]。

求解懸鏈線模型須求解一個非線性方程組，應用迭代法將其轉換為求解多個線性方程組。如果初值選的不好或停止條件過于苛刻，很可能導致結果不收斂或收斂很慢。在保證精度的前提下為簡化計算，試圖尋找其他線性模型作為懸鏈線模型的簡化模型，即提出了贗曲線模型。

2.2.2 贗曲線模型及其求解

(13)

由(5)、(6)兩式可知：

(14)

對比(6)、(11)兩式，(14)式并沒有將(6)式中的積分項I全部拋棄，它考慮了鋼索自重對A點的力矩作用，但是它認為力臂為l/2，沒有考慮由于鋼索形狀的變化而導致鋼索自重對A點力矩的變化。因此，它介于懸鏈線模型和直線模型之間，稱之為贗曲線模型。利用簡化結論(13)、(14)，化簡非線性方程組，可得：

(15)

其中A即為式(10)中的A項。

式中Li為第i根鋼索的索長，由式(14)求得。

當給定饋源艙位姿時，即可列寫贗曲線模型方程組(15)，求解得到贗曲線模型索力，記為TBS。解得的TBS需要滿足式(8)所示的約束條件，若不滿足則舍棄該解。求得滿足條件的TBS，即可得到索長LBS。

2.3 鋼索索力的優化

根據天文觀測的要求，饋源在跟蹤射電源時，饋源的相位中心應該時刻位于射電源和反射面曲率中心所在的直線，即主光軸上，記饋源相位中心傾斜角的理論設定值為γ0。這一調節過程由兩級調節系統共同完成：一級調節系統調節艙體的傾斜角γ，二級調節系統對饋源相位中心的傾斜角進行補充和精調。因此艙體的傾斜角γ可以在一定的范圍內變化，只要一、二級調節系統的調節結果最終能夠使饋源相位中心傾斜角達到γ0即可。也就是說在同一位置，饋源艙可以在不同的姿態下滿足靜平衡方程組。在某一位置(xw,yw,zw)和角度θ、ψ下，可以給定不同的γ值來求解出滿足約束條件(8)的鋼索索力，記使艙體同時滿足(8)式和靜平衡方程組的傾斜角γ的集合為Γ。索力TB即可視為傾斜角γ的函數。因此，可以選取一定的優化目標來對索力進行優化[9]。

當鋼索牽引饋源到達某一位置時，如果6根鋼索的索力差別很大，系統的力特性會變差，控制上表現出較大的時滯差異，難以協調[5,7]。為此提出以在給定位置處6根鋼索的索力值盡可能均勻分布為優化目標，對索力進行優化?；阡撍魉髁Ψ讲钭钚≡瓌t的索力優化配置方法的尋找目標、目標函數、約束條件分別為：

findγ∈Γ

(16)

s.t.AHB=b,Tmin

3 數值算例

本文基于密云機構完整的50m FAST縮尺模型進行計算，其參數如表1。

表1 密云50mFAST縮尺模型參數Table 1 Parameters of the Miyun 50m scaled-down model of the FAST

為比較懸鏈線模型和贗曲線模型對索力的求解結果，選取饋源球冠面上的均勻分布的193個測試點進行計算。圖5反映了這193個測試點在饋源球冠面上的分布。

圖5 測試點在饋源球冠面上的分布Fig.5 The distribution of test points over the spherical cap for positioning the feed cabin

將贗曲線模型得到索力與索長分別記為TBS和LBS，懸連線模型解得的索力與索長分別記為TBC和LBC。兩模型求解結果的比較見表2。

表2 懸鏈線模型與贗曲線模型求解結果的比較(i=1～6)Table 2 Comparison of the results between the Catenary Model and the Pseudo-Curve Model

從表2可以看出，兩模型求解結果非常接近。利用精確的懸鏈線模型得到的結果，可以求得λch(λ)/sh(λ)在[1.000027, 1.001179]之間變動，sh(λ)/λ在[1.000013, 1.000590]之間變動，符合贗曲線模型簡化條件，完全可以用贗曲線模型代替懸鏈線模型進行求解。在相同計算機硬件條件下，用C++分別編制贗曲線模型和懸鏈線模型索力求解程序，懸鏈線模型程序求解一個位姿下的索力平均耗時51.04μs，贗曲線模型程序耗時12.75μs，約為前者的1/4。在實時控制中會涉及到大規模計算，贗曲線的解算優勢將在大規模計算中得到進一步體現，也為實時控制提供了可能。

當艙體傾斜角γ∈Γ時，各鋼索均不虛牽。索力優化就是要在集合Γ中，選取一個γ滿足優化準則。圖6為沿X軸方向γ的取值范圍。

圖6 沿全局坐標系X軸傾斜角γ的取值范圍Fig.6 Value range of γ(describing the inclination of the feed cabin)

圖7 索力方差f(γ)隨傾斜角γ的變化Fig.7 The change of f(γ)with γ,where f(γ) is the variance of the tension along a cable

利用(16)式對贗曲線模型解算的索力進行優化。選擇饋源球冠面上的4個點A(0.8084, 0.2166, 8.4335)，B(2.4007, 0.6433, 8.7242)，C(3.9201, 1.0504, 9.2967)和D(5.3204, 1.4256, 10.1337)，如圖5。這4個點均勻分布在由饋源球冠面最低點到邊緣的弧線上，具有一定代表性。通過索力優化，得到在不同傾斜角γ下這4點的索力的方差f(γ)曲線，如圖7。

由圖7可見，索力方差隨著傾斜角的變化而變化；在某一傾斜角下，索力方差可取極小值，此時索力分布最為均勻。饋源艙越靠近饋源球冠面的邊緣(如點D)，索力方差的極小值越大，索力方差的變化幅度越大，索力方差對傾斜角變化越敏感，因此十分有必要對索力進行優化。

對饋源球冠面上的193個點進行索力優化，優化后的索力在[972.8N, 2101.8N]之間變動。對某一根鋼索，索力隨著索長的增大而減??；當索長較小時，索力對索長變化非常敏感，索長較大時，索力在1000N左右波動，變化不大。圖8展示了第2根鋼索的索力分布，鋼索C2的索力TB2以高塔T2所在半徑為對稱軸對稱分布，其他5根鋼索的索力分布也具有類似特點。

圖8 鋼索C2的索力分布(N)Fig.8 The distribution of tension along the cable C2

給定位置下進行索力優化，同時也可得到與優化后索力對應的艙體傾斜角γ，利用式(4)也可得到鋼索索長L。在贗曲線模型求解的基礎上，表3給出了索力優化后FAST索牽引并聯機構的有關參數值。

表3 索力優化后的計算結果Table 3 Calculations after the optimization of cable tensions

4 結 論

本文從大射電望遠鏡索牽引并聯機構的靜力學平衡方程入手，著力分析了靜力學模型的建立和簡化，并在此基礎上對索力進行優化，得到一些有益結論，為后續工作奠定一定基礎。

(1)在精確的懸鏈線模型基礎上得到的贗曲線模型，將非線性方程組簡化為線性方程組，贗曲線模型在保證求解精度的同時將求解速度提高了4倍，為實時控制或大規模仿真計算提供了便利。

(2)利用贗曲線模型得的滿足約束條件的傾斜角組成集合Γ，γ在該集合內取值時都可以避免虛牽，為索力的優化提供了可能。提出以在給定位置處6根鋼索的索力值盡可能均勻分布為優化目標，鋼索索力方差最小為優化準則，對索力進行優化，得到滿意的優化結果。優化后的索力是在該位置下分布最為均勻的一組。

致謝：在論文完成過程得到李輝等同事的大力幫助，提出許多寶貴建議,在此表示感謝。

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