一種估計Logistic模型參數的方法及應用實例

摘 要:分析了Logistic函數的解析性質，得到了曲線上三個關鍵點和三個不同的增長階段，利用差分和最小二乘法，給出了Logistic模型的一種便于使用的參數估計方法.并通過實例，建立Logistic模型對我國城鎮居民家庭平均每百戶彩色電視機擁有量的增長變化趨勢進行了分析和預測.

關鍵詞Logistic曲線;參數估計;回歸;擬合;預測

中圖分類號 O212文獻標識碼:A

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1 引 言

在增長曲線中，最著名的是Logistic曲線，它最初是在研究人口增長規律時提出來的，后來，比利時數學家P.F.Verhulst 將其歸納提煉成數學模型y(t)=k1+ea-rt，k>0，a∈R，r>0，其中，k為飽和水平，r為增長速度因子.它既可用來描述生態領域動植物的生長發育或繁殖過程，也可用來描述經濟領域新技術的擴散或耐用消費品的銷售等經濟現象的研究中.對于該方程中含有的三個未知參數k，a，r的估計，比較系統的方法如逐次加密搜索法和回歸分析相結合的方法、Marquardt法等等[1].這些方法的求解過程均比較復雜，主要是未能解決求解過程中參數間的耦合問題，一般需要反復迭代，特別是對于迭代初值的選取，往往會由于初值不合適導致迭代失敗.為了尋找更簡潔的參數估計法，很多學者進行了深入研究，并提出了一些有效估計的方法[2-5].本文首先分析了Logistic曲線的解析性質，提出了曲線上三個關鍵點和增長過程中的三個階段.同時，在現有文獻[2-5]研究的基礎上，對Logistic參數的估計問題作了進一步討論研究，通過采用差商近似導數以及最小二乘法原理，給出了Logistic模型的一種便于使用的參數估計方法.并通過實例計算，建立了Logistic模型對我國彩色電視機平均每百戶擁有量的增長變化趨勢進行了分析和預測，取得了良好的預測結果，對于彩電市場的生產與銷售具有一定的指導意義.