固定匯率制度下的雙幣種交換期權

摘 要 :在固定匯率制度模型的基礎上，利用計價單位變化以及風險中性概率測度，得到固定匯率制度下的雙幣種交換期權價格的閉式解.

關鍵詞 固定匯率制度，It公式;計價單位;交換期權

中圖分類號 O2119文獻標識碼:A

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1 引 言

Margerrabe[1]首次提出交換期權的概念，利用歐拉方程成功解決了完備市場條件下交換期權定價與復制的問題.Carr[2]首次提出序列交換期權的概念，是對Margerrabe[1]和Geske[3]的推廣.Carr[4]解決了美式交換期權定價的問題并將結果應用到實物期權定價實踐中去.姚小義， 鄒捷中， 陳超[5]股票價格服從跳-擴散過程的資產交換期權定價模型進行了研究.本文擴展研究固定匯率制度下的雙幣種交換期權定價.它的實際背景是:一個國內的投資者可能會購買國外的交換期權，而他(她)支付的是國內貨幣;因此他面臨著兩個風險資產以及匯率風險.既然在期權市場存在交換期權，那么通過貨幣轉換的雙幣種交換期權的問題在實際中必然是存在的.目前未見文獻有關于雙幣種交換期權閉式解的討論.1992年Reiner[6]首次介紹并給出了Black-Scholes模型下4種雙幣種歐式看漲期權的定價.Kwok[7]等討論了雙幣種的幾類奇異歐式期權的定價.對雙幣種期權定價問題的討論一般都在浮動匯率制度下面進行討論.文獻[8]討論了在兩種匯率制度下的雙幣種期權定價，特別提出了固定匯率制度下的雙幣種期權定價的模型，本文在文獻[8]提出的模型下研究固定匯率制度下的雙幣種交換期權定價. 

2 交換期權

交換期權是多風險資產歐式期權中的一種，它是一種期權的持有人在到期日有權利但沒有義務以一種資產交換另一種資產的合約.設兩個風險資產的價格分別為S1和S2，此時它的未定權益為

V(S1，S2，T)=max (S1-S2，T).(1)

這意味著投資人持有風險資產1的頭寸，如果預期未來風險資產2比風險資產1有較好的表現，他希望把風險資產1換成風險資產2，為此投資者將購買一份交換期權.

設兩個風險資產S1和S2的價格滿足下面的隨機微分方程

經 濟 數 學第 27 卷

第1期郭建果:固定匯率制度下的雙幣種交換期權

下面討論期權價格W(x，τ)滿足的偏微分方程，此時的最終支付條件為

W(x，T)=V(S1，S2，T)S2(T)=max (S1(T)-S2(T)，0)S2(T)

=max (S1(T)S2(T)-1，0)=max (x(T)-1，0).

可以理解為資產價格是x，敲定價格是1的歐式看漲期權的定價問題.由于資產S2是貨幣單位，因此可以理解為無風險利率是q2，資產x支付的利率是q1的歐式看漲期權的定價問題，因此W(x，τ)滿足:

-rf)FVdF-rdVd=0，

其中，rd，rf分別是國內和國外的無風險利率，q1和q2分別是資產1和2的利率.從上面的式子可以看到，直接的定價公式由于變量的維數是3，得到閉式解是相對困難.下面借助于定理1計算某些雙幣種交換期權的價格.

3 固定匯率制度下的雙幣種交換期權

在固定匯率制度下，雙幣種期權僅有下面的情形，它的未定權益為

本文在文獻[8]提出的固定匯率制度下的雙幣種期權定價的模型的基礎上，利用計價單位變化以及風險中性概率測度，得到了固定匯率制度下的雙幣種交換期權價格的閉式解，論文的結論對雙幣種交換期權的實際定價具有參考價值.

參考文獻

[1] MARGRABE W.The Value of an option to exchange one asset for another[J]. The Journal of Fiance，1978， (1):177-186

[2] PETERCarr.The valuation of sequential exchange opportunities[J].The Journal of Finance， 1988，(5):1235-1256

[3] ROBERT Geske.The valuation of corporate liabilities as compound options[J]. Journal of Financial and quantitative analysis， 1977，12:541-52

[4] CARR P. The valuation of American exchange options with application to real options[EB/OL].[2008-05-16] http://www.math.nyu.edu/research/carrp/papers/pdf

[5] 姚小義， 鄒捷中， 陳超. 股票價格服從跳-擴散過程的資產交換期權定價模型[J]. 長沙鐵道學院學報， 2002， (3): 4-9

[6] REINER E. Quanto mechanics[J] Risk， 1992，5(3):59-63

[7] KWOK Y， WONG H. Currency-translated foreign equity options with path dependent features and their multi-asset extensions[J]. International Journal of Theoretical and applied Finance， 2002，3(2):257-278

[8] 李亞瓊， 黃立宏.兩種匯率制度的雙幣種期權定價模型及其解[J]. 經濟數學，2009， 26(4):13-19

The Pricing of Quanto Exchange Options under 

the Fixed Exchange Rate System



GUO Jian-guo

(China Construction Bank Xiamen Branch，Xianmen，Fujian 361001，China)

Abstract

Under the fixed exchange rate system， and usingthe numeraire and the equivalent martingale measure， the closed form solutions of quanto exchange options were obtained.

Keywords the fixed exchange rate system; It formula; the numeraire;exchange options