雙參數(shù)Esscher變換及其應(yīng)用

摘 要 :通過把Lévy過程分解為兩個獨立過程之和，將Esscher變換由單參數(shù)推廣到雙參數(shù)，并給出了雙參數(shù)Esscher變換測度為等價鞅測度的充要條件.

關(guān)鍵詞 Esscher變換;Lévy過程;期權(quán)定價;等價鞅測度

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中圖分類號 O211.6文獻標(biāo)識碼:A

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1 引言

Black和Scholes[1]提出的經(jīng)典的B-S模型和定價公式是數(shù)學(xué)金融學(xué)中最重要的成果之一.然而，大量的實證研究表明，實際金融市場

是不完全的.因此B-S模型不能很好地刻畫實際市場.為了更好地刻畫實際市場，人們提出了各種新的模型，幾何Lévy模型就是其中之一.由于幾何Lévy模型是不完全的，因此存在無窮多個等價鞅測度.眾所周知，不完全市場中的期權(quán)定價，首先要選擇一個特定的等價鞅測度作為定價測度.

Fllmer和Schweizer[2]建議把極小鞅測度(minimal martingale measure)作為定價測度; Schweizer[3]采用方差最優(yōu)鞅測度

(variance-optimal martingale measure)作為定價測度; Frittelli[4]詳細討論了最小熵鞅測度(minimal entropy martingale

measure)的存在性; Platen和Rebolledo[5]給出了逆相對熵鞅測度(minimal reverse relative entropy martingale measure)的概念; Gerber和Shiu[6]首次將Esscher變換應(yīng)用到期權(quán)定價中， 得到了Esscher鞅測度.

受Delbaen和Haezendonck[7]的啟發(fā)，本文通過把Lévy過程分解為兩個獨立過程之和，

將Esscher變換由單參數(shù)推廣到雙參數(shù)，并給出了雙參數(shù)Esscher變換測度為等價鞅測度的充要條件.

這樣，就更容易得到等價鞅測度，并且為研究某些等價鞅測度之間的關(guān)系提供了條件.

為進一步展開論述，先簡單回顧文獻[6]的單參數(shù)Esscher變換.設(shè)無風(fēng)險利率r>0為常數(shù)，資產(chǎn)價格過程服從幾何Lévy過程S=eXt，其中Xt是定義在概率空間(Ω，F(xiàn)，F(xiàn)=(Ft)t∈[0，T]，P)上的Lévy過程.記Xt的累積量函數(shù)(cumulant function)為(u)，即

(u)=ln[EP(eiuX1)]

其中EP[#8226;]表示在概率P下的數(shù)學(xué)期望.按如下方式定義一簇概率測度Qh(huán)

dQh(huán)dP|Ft=ehXt-t(h)，

稱概率Qh(huán)為由參數(shù)h確定的Esscher變換測度.若存在某個h*，使得在概率Qh*下，資產(chǎn)價格的貼現(xiàn)過程t=e-rtSt是鞅，則稱Qh*為Esscher鞅測度.容易證明，h*必定滿足如下方程(參見Gerber和Shiu[6])

(h+1)=(h)+r.(1)

由于矩母函數(shù)是嚴(yán)格凸的，故若方程(1)有解，則其解是唯一的.

從上面可以看到， Gerber和Shiu[6]引入的Esscher變換只包含了一個自由參數(shù)，原因是將Lévy過程X看成整體來進行變換的，從而只能得到一簇(單參數(shù))Esscher變換概率測度.注意到Esscher變換測度關(guān)于實際概率測度P的Radon-Nikodym導(dǎo)數(shù)是X的函數(shù)，而這個變換并不會影響到任何與X獨立的隨機過程.另外，按照Lévy-It 分解公式，任何Lévy過程都可以分解為連續(xù)的Brownian部分和純跳過程之和，并且這兩部分是獨立的.

因此，我們可以分別就這兩部分來進行Esscher變換，得到一簇(雙參數(shù)的)Esscher變換測度.

2 幾何Lévy模型

考慮如下市場模型:市場中有兩種資產(chǎn)，一種為無風(fēng)險資產(chǎn)，其價格過程為Bt=exp(rt);另一種資產(chǎn)稱為股票，其價格過程為

經(jīng) 濟 數(shù) 學(xué)第 27 卷第1期姚落根等:雙參數(shù)Esscher變換及其應(yīng)用

St=S0eXt，0≤t≤T(2)

其中，S0>0是常數(shù)，X=(Xt)t∈[0，T]是一維Lévy過程，且具有特征三元組(α ，σ2，ν).假定

無風(fēng)險利率(年利率)r>0是常數(shù)， 股票不分紅，St是定義在帶域流的概率空間(Ω，F(xiàn)，F(xiàn)=(Ft)t∈[0，T]，P)

上，且F滿足通常條件.

首先回顧關(guān)于Lévy過程的一些基本知識.Xt的特征函數(shù)有如下形式

EP[exp(iuXt)]=etη(u)

其中

最后一個式子說明了Xt在概率測度Q(a，b)下的特征三元組為式(6).證畢.

在這一簇概率測度(雙參數(shù))Q(a，b)下，尋找適當(dāng)?shù)膮?shù)a，b，使得資產(chǎn)價格的貼現(xiàn)過程Ste-rt是Q(a，b)鞅.

定理3 設(shè)Xt在P下是具有特征三元組(α，σ2，ν)的Lévy過程，則Q(a，b)是等價鞅測度當(dāng)且僅當(dāng)a，b滿足如下條件

即有式(7)成立.證畢.

由于有兩個未知參數(shù)，而只有一個方程，方程(7)一般有無窮多個解，從而對應(yīng)無窮多個等價鞅測度.特別地，若再加一個條件a=b，則得到的等價鞅測度實際上就是Gerber和Shiu[6]的Esscher鞅測度.

例1(均值修正鞅測度)在幾何Lévy過程模型中， 均值修正方法[8](mean correcting transform)是得到等價鞅測度的常用方法.其基本思想是修正Lévy過程的均值，使得在新概率測度下，資產(chǎn)價格的貼現(xiàn)過程是鞅.

具體來說，設(shè)股票價格的對數(shù)收益率Xt是具有特征三元組(α，σ2，υ)的Lévy過程， 對m∈R，

記 Yt=Xt-mt.選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)m0，使得在某個與市場概率測度P等價的概率測度Qm0下，股票的貼現(xiàn)價格過程Ste-r t為Qm0鞅.相應(yīng)的概率測度Qm0稱為均值修正鞅測度.容易證明m0只有唯一解

其中Wt是標(biāo)準(zhǔn)布朗運動; Nt是參數(shù)為λ的泊松過程，且與Wt獨立;

Yi~N(α，δ2)是獨立同分布的隨機變量序列并且與Wt， Nt都獨立，設(shè)f(x)代表隨機變量Yi的密度函數(shù)，定義測度ν

A∈B(R)，ν(A)=λf(A)，

則Xt是具有特征(μ，σ2，ν)的Lévy過程.在模型(8)下，取b*=0，則由式(4)和式(7)，可求得

(1)=a*=1σ2[r-μ-12σ2-λ(eα+12δ2-1)].

容易驗證， Q(a*，0)正是Merton采用的等價鞅測度.

4 結(jié)束語

本文將單參數(shù)的Esscher變換推廣到雙參數(shù)的Esscher變換，得到了無窮多個等價鞅測度.一般地，只需額外給定一個條件，就可確定一個相應(yīng)的等價鞅測度.

需要注意的是，一般情況下，雙參數(shù)的Esscher鞅測度的全體只是全體等價鞅測度的一個真子集.實際上，可以做得更細致些.

因為一個Lévy過程可以分解為獨立的三個部分:Brownian部分，補償跳鞅部分，復(fù)合泊松過程，與前面討論類似，可以對這三個部分進行Esscher變換，從而可以得到三個參數(shù)的Esscher變換.

參考文獻

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Two-parameters EsscherTransform 

and Its Application

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YAO Luo-gen1，2，YANG Gang1，YANG Xiang-qun2

(1. Information Department of Hunan Business College，Changsha，Hunan 410205，China;

2.College of Mathematics and Computer Science， Hunan Normal University，Changsha，Hunan 410081，China)

AbstractThis paper extended Esscher transform to two-parameters by decomposing Lévy processes as the sum of two independent processes， and gave a necessary and sufficient condition for two-parameters Esscher transform measures to be equivalent martingale measures.

KeywordsEsscher transform; Lévy processes;option pricing; equivalent martingale measure