固定支出下最優資產組合策略

摘 要:在固定消費支出水平的條件之下，文章就資產組合問題建立常方差彈性(CEV)模型，應用隨機控制原理求出了相應的非線性Hamilton-Jacobi-Bellman偏微方程，再用Legendre變換將其轉化為線性偏微方程，建立對偶問題。通過對偶問題的求解，從而求得原問題的精確解析解，確定風險資產和無風險資產的最優投資比例，實現了滿足既定支出水平下總資產的對數效用最大化，從實際市場的角度改進發展了經典的Merton模型結果

關鍵詞 固定支出;資產組合;常方差彈性(CEV)模型;Legendre變換;對偶

中圖分類號 F830.59;F224.11文獻標識碼:A

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1 引 言

自Merton關于最優投資消費問題的開創性研究工作以來[1-2]，很多學者從不同的角度進行了改進和發展，如文獻[3]追求隨機微分效用最大化，文獻[4]采用隨機利率模型，文獻[5]考慮退休后計劃的生命型模型，文獻[6]引入交易費用研究投資消費，文獻[7-8]考慮了隨機收入和紅利支付，文獻[9]在常方差彈性(CEV)模型下討論了投資和消費的最優策略.在本研究中，筆者繼續在文獻[9]的基礎之上，在固定消費支出的條件之下，就資產組合問題建立CEV模型，確定風險資產和無風險資產的投資比例，實現了滿足既定消費支出水平下總資產的對數效用最大化.與文獻[9]相同之處是:原理和方法上都是針對投資消費問題建立CEV模型，應用隨機控制原理、Legendre變換和對偶理論求解模型，從實際市場的角度改進發展了經典的Merton模型結果.與文獻[9]不同之處是:從目標來看，是滿足有固定消費支出需要的投資機構;從效

用來看，本文追求的是總資產的對數效用最大化;從模型建立和求解的過程來看，由于市場條件和效用函數的改變，會引起非線性Hamilton-Jacobi-Bellman(HJB)偏微方程的較大改變，從而直接影響最終求解難度和結果.

CEV模型是幾何布朗運動的一個擴充，其波動率是隨機的，與常波動率相比，優化之處在于:CEV模型考慮了風險資產市場價格，從而更加具有實際意義，但很大程度上加大了模型求解難度，一直沒有廣泛應用于投資消費領域，所以還存在進一步發展的空間，也有必要針對不同條件需求進一步探討分析CEV模型在該領域的應用，從而增加決策的科學性.

至于Legendre變換和對偶理論，在熱力學、統計力學和量子論領域借助Legendre變換轉化為對偶問題研究分析原問題的學術工作比較廣泛，而用此類方法來研究探討金融投資決策問題的還有待進一步的發展和完善.文獻[8-9]應用此法探討了在一定條件下的投資消費問題，文獻[10]在信息論的基礎之上，對金融中的Hellinger過程，應用Legendre變換將其轉化為對偶問題，針對三種效用函數的Hellinger過程研究分析了與對偶問題的相互關系以及理論性質.文獻[11]將Legendre變換引入到資產配置和對沖期權，文獻[12-14]應用此法研究了養老基金管理的投資策略和繳費水平.

基于此，筆者改變市場條件、目標效用、效用函數，在給定固定消費支出水平的條件下，就資產組合問題建立CEV模型，應用隨機控制原理求出相應的非線性的HJB方程，再用Legendre變換將其轉化為線性偏微方程，建立對偶問題，通過對偶問題的求解，確定風險資產和無風險資產的最優投資比例，滿足既定消費水平下總資產的對數效用最大化.