薄壁橋塔極限承載力的雙重非線性分析

【摘 要】以非線性有限元理論為基礎，針對薄壁箱型結構的特點，闡述了同時考慮材料非線性和幾何非線性的雙重非線性薄壁箱型結構極限承載力分析計算方法。根據邊緣材料屈服和薄壁失穩出現的先后順序，歸納了三種薄壁結構的塑性鉸類型以便分析結構失效模式。采用通用有限元軟件Ansys計算了泰州長江公路大橋薄壁箱型截面橋塔的極限承載力，并根據其塑性鉸類型分析了橋塔達到極限承載力時的失效模式，以此對橋塔安全性進行判斷。

【關鍵詞】 橋梁工程;薄壁結構;極限承載力;雙重非線性;橋塔

Thin wall bridge tower extreme limit loading dint of dual not line analysis

Xu Bin

(Dongying city highway bureau Dongying Shangdong 257500)

【Abstract】With not line limited dollar theories for foundation， aim at a thin wall box a type the characteristics of the structure， elaborate in the meantime consideration material not line with several not- line and dual not line thin wall box type structure extreme limit loading dint analysis calculation method.Accept defeat to lose steady emergence with thin wall order of sequence according to the edge material， induced three kinds of thin wall structure of the type of Su Jiao in order to analysis structure expiration mode.Adoption in general use and limited dollar software Ansys calculation the Tai eparch river's highway big bridge thin wall box type piece noodles bridge the extreme limit of the tower loading dint， and according to its Su Jiao type analysis the bridge tower attain extreme limit loading dint of expiration mode， carry on judgment to the bridge tower safety with this.

【Key words】Bridge engineering;Thin wall structure;Extreme limit loading dint;Dual not line;Bridge tower

橋梁結構極限承載力分析的實質是通過不斷求解計入幾何非線性和材料非線性的剛度方程，尋找其極限荷載的過程[1][2][3]。目前橋梁極限承載力常用的分析方法有:線性屈曲法、幾何非線性分析方法、以及同時考慮幾何和材料非線性的雙非線性分析方法[4][5][6]。薄壁結構在橋梁工程中有著日益廣泛的應用，由于板厚和加勁肋布置的不同，承受大軸力或軸彎組合的薄壁結構可能發生多種局部屈曲、整體屈曲以及材料屈服的破壞，造成了數值分析的困難，工程上常用簡化方法進行分析。正確識別其發生破壞的誘因和失效模式是提高其極限承載能力的關鍵。本文通過雙重非線性分析，從塑性鉸的形成機理出發，提出了在有限元全橋倒塌仿真分析中通過屈曲點和屈服點先后關系識別破壞誘因和失效模式的方法，并在具體工程中應用。

1. 極限狀態計算的通用平衡方程

只有通過極限狀態的分析和對倒塌過程的模擬，才可以反映構件的整體和局部失效過程以及更好的反應他們之間的先后關系;但有限元模擬薄壁結構的失效全過程是十分復雜的，尤其對于加載過程中可能出現的局部屈曲和結構失效后的彈塑性階段的分析還存在一些數學上的困難。作為下面分析的基礎，首先建立薄壁結構達到極限狀態時嚴密形式的平衡微分方程。

取圖1所示的簡單薄壁結構為例，利用虛功原理建立結構達到承載能力極限狀態時的平衡方程:

d{δ｝T{ψ｝=

瘙 楋 d{ε｝T{σ｝dv-d{δ｝T{f1｝=0(1)

其中:{ψ}表示內力和外力的矢量總和，{f1}表示所有荷載列陣，d{δ}表示虛位移，d{ε}表示虛應變。寫成位移和應變的關系:

d{ε｝=[B]d{ε｝(2)

將(2)代入(1)并消去d{δ}得一般平衡方程為:

{ψ({ε｝)｝=

瘙 楋 [B] T{σ｝dv-{f1｝=0 (3)

式(3)不論位移(或應變)是大或是小都完全適用。在大位移的情況下:

[B]=[B0]+[BL({ε｝)](4)

式中:[B0]是線性應變分析的矩陣，[BL]是由非線性變形引起的。

如果對應于一般的線彈性關系:

{σ｝=[D]({ε｝-(ε0))+ {σ0｝ (5)

式中:[D]是材料的彈性矩陣，{ε0}是初應變矩陣，{σ0}是初應力矩陣。得:

d{ψ｝=([K0]+[Kσ]+[KL]) d{δ｝=[KT]d{δ｝(6)

式中:[K0]表示小位移的線性剛度矩陣;[Kσ]為幾何剛度矩陣;[Kl]為大位移矩陣。

平衡微分方程中包含了幾何矩陣和大位移矩陣，可見對于薄壁結構而言數學上的困難是由于幾何非線性和材料非線性以及整體和局部屈曲帶來的，往往需要忽略其中一項或者幾項來近似的得到工程師想要的結果[7][8]。線性屈曲、非線性屈曲、雙非線性分析是根據對式(6)的簡化程度不同而定義的。

2. 薄壁結構極限承載力的計算方法

由于薄壁結構局部屈曲也會產生塑性鉸而導致結構失效，所以其極限承載力分析常用屈曲分析代替以簡化計算。線性屈曲分析忽略了大位移矩陣。計算時假定結構在加載的各個階段總認為結構在未加載的原始位置上產生平衡，當屈曲發生時，結構突然跳到另一個平衡位置[9]。如圖2曲線①所示:荷載比例因子λ與位移在屈曲之前為線性關系。屈曲前結構處于原始位形的線性平衡狀態，因此(6)式中的大位移矩陣[KL]為零。(6)式簡化為:

[K0+λKG] λ {δ｝=λ {f｝(7)

隨著荷載比例因子的增加，當達到屈曲荷載時，對于任意一個不為零的位移增量，所需的外力均為零。寫成平衡方程的形式即:

([K0]+λ[KσT])d{δ｝=0(8)

所以線性屈曲分析，是一個廣義特征值問題。而結構的平衡實際上是在結構發生變形后達到的，因此實際結構從一開始就出現了幾何非線性的特性，要進行非線性屈曲分析。非線性屈曲如圖2中曲線②所示，當荷載比例因子增加時λ~δ曲線是非線性的，最終達到極限荷載失去承載力。在加載過程中，結構在不斷更新的位形上達到平衡，因此大位移矩陣[KL]不為零，平衡方程為:

[K0+Kσ+KL] {δ｝= {f｝(9)

當達到極限荷載時，結構失去承載力。對應的平衡方程為:

[K0+Kσ+KL]d {δ｝ =0 (10)

上述方程式按照材料完全彈性的條件建立的，求解過程中僅考慮了各種幾何非線性的影響。實際結構中，在進行非線性屈曲分析時，隨著材料應力的增加，應力應變不再是線性關系，而符合如下的非線性方程:

{σ｝ =[D{ε｝] ({ε｝-{ε0｝)+{σ0｝(11)

當應力達到一定水平，雖然式(10)或(8)的分支點失穩還沒出現，但構件的邊緣纖維開始屈服，當荷載繼續增加，由于塑性區的向外擴展，結構內部纖維的屈服發展加快，最終形成塑性鉸導致結構破壞。于是在非線性屈曲中，便出現了另一類穩定問題，極值點失穩。

圖1 軸力和彎矩作用下的薄壁結構圖2 考慮幾何非線性的荷載曲線圖3 考慮材料非線性的荷載曲線

極值點失穩如圖3所示。整個加載過程中的薄壁結構的λ~δ曲線可以分為三個階段[8]，Ⅰ線性階段:即沒有局部的屈曲也沒有材料非線性;Ⅱ非線性階段:材料進入非線性或者發生屈曲;Ⅲ)失效后階段:塑性鉸形成結構喪失承載能力。

對于薄壁構件進行材料和幾何雙非線性分析時，無論失穩破壞還是強度破壞，都將導致大變形和塑性區的發展，因此從破壞后的狀態無法識別破壞的誘因。通過觀察構件屈曲和材料屈服先后關系可將塑性鉸按形成誘因分為三種類型:

類型一、屈曲誘因型:當達到屈曲失穩荷載時邊緣纖維的應變還沒有達到屈服強度;屈曲導致的局部大變形和大應變，最終導致材料屈服形成塑性鉸，如圖4a。

類型二、臨界類型:邊緣纖維進入屈服時恰好達到了結構的屈曲荷載，如圖4b。

類型三、屈服誘因型:部分邊緣纖維首先屈服，屈服逐漸擴展，最后全截面達到屈服狀態，形成塑性鉸，如圖4c。

3. 泰州長江公路大橋橋塔極限承載力分析

泰州長江公路大橋位于江蘇省長江中段，上游距離潤揚長江大橋60公里，下游距離江陰長江大橋約60公里，北接泰州市，南連鎮江和常州市。具體結構參數如表1[10][11]:

中間薄壁橋塔鋼材，采用理想彈塑性本構關系模擬。其中Q370鋼材考慮50mm以上厚度折減的屈服強度為330MPa，再考慮殘余應力折減的屈服強度為281MPa;Q420鋼材考慮50mm以上厚度折減的屈服強度為390MPa，再考慮殘余應力折減的屈服強度為332MPa。根據設計要求鋼材屈服應變取為0.2%、強化的應變是2.5%。

表1 泰州長江公路大橋結構特性表

結構特性數值結構特性數值結構特性數值

主跨跨徑2×1080(m)二期恒載53.1(KN/m)吊桿間距20(m)

邊跨跨徑390(m)主纜面積0.33(m²)吊桿面積0.0047(m²)

加勁梁面積1.5(m²)主纜垂度120(m)主塔高度200(m)

加勁梁重量178.1(KN/m)垂跨比1/9橋面寬度33(m)

圖4 根據形成誘因區分塑性鉸

除了材料非線性外，懸索橋的幾何非線性主要考慮由于垂度效應，梁柱效應、大變形產生的強幾何非線性，只有包含材料非線性和幾何非線性的雙重分析才能最真實的模擬中間橋塔極限承載力[12]。利用有限元軟件ANSYS，中間鋼塔采用可以考慮大變形的四節點平面殼元，其他部分采用桿系單元組建全橋模型，模型離散如圖6所示:計算中采用增量迭代的牛頓-拉斐遜方法，屈服判斷采用米賽斯屈服準則。采用恒載和活載一起倍增的方法取荷載安全系數。

圖5 泰州長江公路大橋主橋橋跨布置圖

有學者指出，超大跨徑纜索承重橋極限承載力的研究不應局限于面內荷載，而應考慮面外荷載(主要指靜風荷載)的作用[13]。因此本文考慮橫向風荷載和活載作用的三種對中間橋塔最不利荷載工況如下:

(1) 恒載+單主跨8車道汽車荷載+風荷載;

(2) 恒載+極限風荷載;

(3) 恒載+兩主跨8車道汽車荷載+風荷載

4. 對失效模式的分析

經計算得到各個工況荷載安全系數均大于2.5。安全系數最小的是工況一，如圖7中結構失效部位塑性區圖，整體失效模式為上橫梁下緣塔柱內壁開始的塑性區發展。導致了最終在塔頂形成塑性較，結構失效。為了判斷結構的失效原因，繪制隨著荷載系數增加圖中P點應變變化的ε~λ曲線如圖8所示。

圖6 結構離散圖 圖7 橋塔塑性鉸應變圖 圖8 塑性鉸邊緣纖維應變-荷載系數曲線

邊緣纖維達到屈服應變之前，荷載系數曲線基本上是線性發展;邊緣纖維達到了屈服應變0.00136(285.6MPa/2.1e5MPa)后開始屈服;伴隨著屈服纖維的發展，結構的承載能力繼續提高，斜率一直降低，直到全截面達到塑性之后結構失效，符合類型三“屈服占優”的情況。針對此類型的補強措施應為提高橋塔局部的板厚以減小極限狀態下的應力，提高安全系數。

5. 結論

本文以薄壁結構極限承載力的計算原理為基礎，針對薄壁結構容易形成局部屈曲破壞的特點，討論了薄壁結構極限承載力求解的線性屈曲法、非線性屈曲分析和雙非線性方法對平衡方程的簡化原理。提出了根據塑性鉸形成過程來判斷薄壁結構失效誘因的方法。通過正確識別薄壁結構失效誘因，工程師可以有針對性的進行結構補強。并以泰州長江公路大橋為例，利用有限元軟件ANSYS采用考慮雙非線性的增量迭代牛頓-拉斐遜方法計算了中間鋼塔的極限承載力。計算中考慮了橫向風荷載與活載和恒載的組合，通過恒載和活載一起倍增的方式求得各種荷載組合安全系數均大于2.5。通過對失效局部纖維材料的全過程分析表明，其屈服點早于結構的失穩，失穩模式屬于由邊緣纖維屈服引起的“屈服占優”破壞方式，并提出了繼續提高荷載系數的補強措施。

參考文獻

[1] 徐愛敏，陳衡治，謝旭.結構極限承載力計算方法及其收斂性[J].中國公路學報.2006，19(5):65~71

[2] 彭可可，賀國京.大跨度橋梁承載能力的雙重非線性分析[J].中南林學院學報.2006.26(3):74~78.

[3] 程進，江見鯨，肖汝誠，項海帆.大跨度拱橋極限承載力的參數研究[J].中國公路學報.2003，16(2):45～48

[4] 萬田保，王忠彬.泰州長江公路大橋三塔兩跨懸索橋總體穩定性分析[J].橋梁建設.2008.2:17~21

[5] 侯新錄.結構分析中的有限元法與程序設計[B].北京:建筑工業出版社，2004:147～149

[6] 鄭凱鋒，胥潤東，楊雷，等.泰州長江公路大橋中間鋼塔極限失效模式和承載力計算分析[R].西南交通大學.2008

[7] 王忠彬，萬田保.泰州長江公路大橋三塔兩跨懸索橋結構行為特性[J].橋梁建設.2008.2:38~42

[文章編號]1619-2737(2010)06-10-100

[作者簡介]胥斌(1969-)，山東墾利人，東營市公路局科長，工程師，專業研究方向為道路與橋梁工程。