學習圓的概念 認識數學思想

現代數學教育教學的理論與實踐表明，數學思想方法，是數學的靈魂.借助于基本概念、基本方法的教學，向學生滲透數學的思想方法，有利于學生深入理解數學知識，形成解題技能，有利于培養其思維能力，從而有利于學生從本質上把握相關的數學內容.

《圓》是中學數學教材中的重要內容;學好圓的概念，可以同時學好很多相關的數學思想與方法.現做些簡要的分析，請專家指教.

一、運動變化思想.唯物辯證法認為，物質世界，是運動、變化的.在這一部分內容中，體現這個觀點的素材很多.比如，(1)圓的定義:一線段繞一端點旋轉一周，另一端點運動(變化)所形成的圖形;(2)改變一個點到圓心的距離，將改變這個點與圓的相對位置;(3)各類基本軌跡，均可看作是點按某種規律運動、變化形成的圖形;(4)運用基本軌跡，作圖，求適合某些條件的點的過程;(5)將線段繞其中點旋轉180度，則它的兩個端點運動，形成一個以該線段為直徑的圓;(6)圓繞其圓心旋轉任意一個角度，所得的圖形仍與原圖形重合;(7)將圓沿著經過圓心的任一直線對折，直線兩旁的部分完全重合.

二、集合對應思想.集合一一對應，是現代數學和當代數學的極為重要的思想與方法;借助于集合對應思想，很多數學概念與理論的闡述與表達，體現了前所未有的嚴密與透徹.比如，(1)圓是平面內到定點距離等于定長的點的集合;(2)圓的內部是到定點距離小于定長的點的集合;(3)圓的外部是到定點的距離大于這個定長的點的集合;(4)給定一個定點和確定的長度，對應著以該定點為圓心，該長度為半徑的唯一的圓;(5)給定一個圓，對應著唯一的圓心，唯一的半徑;(6)一個圓，對應著無數條直徑、半徑、無數條對稱軸;(7)角的平分線，是到這個角的兩邊距離相等的點的集合.

三、數形結合思想.用數量關系表達、研究數學對象的幾何特征，用直觀圖形去表達數學對象對應的數量關系，使數量關系與空間形式結合起來，是揭示數學問題本質的極為重要而有效的手段與方法.設圓O，半徑為R，點P到圓心O的距離為d:(1)d>R點在圓外;(2)d=R點P在圓上;(3)d

四、函數思想.函數思想，是變量數學中的基本思想.借助于函數思想，可以極其透徹地研究有關變量之間的關系.比如，給定圓心與半徑(長度).(1)當線段繞其一端點(定點)旋轉的角度變化時，弧長也相應地變化，而且其變化結果唯一、確定;因此，弧長是半徑所轉過的角度(圓心角)的函數;(2)同理，線段繞一端點旋轉的角度與所形成的扇形的面積之間，也同樣具有函數關系;(3)線段繞其一端點旋轉的角度大小與對應的弓形的弦之間，有確定的函數關系.

五、質量互變思想.物質世界的萬事萬物，量變積累到一定程度，必然會導致質的改變;量變是質變的前提與保證，質變是量變的必然結果.這里，體現這個基本觀點的素材也很多.比如，(1)由dR，可能d與R只相差一個“極小”的正數，但就因這個“極小”的“差距”，使點P與圓O的位置出現了本質的改變;(3)弦與弧，確有本質的差異，但當圓心角很小(比如小于5度，1度30分、30秒……)時，弦與弧，簡直可以互相代替;圓心角的大小改變是量變，而弦與弧的差異的“消失”、“接近”，可以互相代替，是質變;(4)圓上有無數多個點，只要將這無數多個點中減去一個，圖形的本質特征立即遭“破壞”;(5)經過一點、兩點，均不能確定圓，而經過不共線的三點，卻只有唯一的一個圓.

六、有限無限思想.無限，是物質世界的基本特征.在相關概念中，體現這個思想的素材也很多.比如，(1)以某一點為圓心，可以作出無數個圓;經過某一點，可以作出無數個圓;經過某兩點，可以作出無數個圓;以某一長度為半徑，可以作出無數個圓;(2)圓內有無數個點，圓上有無數個點，圓外有無數個點;任一半徑上有無數個點;任一直徑上有無數個點;任一(任意短的)弧上有無數個點;(3)任一個圓，都有無數條弧，都有無數條弦，都有無數條直徑;(4)以任意小的長度為半徑作圓，圓內“仍有”無數個點;(5)任一個圓都有無數個內接三角形、四邊形、五邊形、……;(6)任一個圓，均有無數條對稱軸.

七、序觀念.序，是一種規則，一種狀態，是認識發展的一種特性;序，是研究的需要;序，是和諧，是數學美.比如，(1)圓是由無數個點、按照一定的、嚴格的順序排列而成的封閉曲線;(2)圓上任一點，都可以作為這無數個點的起點，同時，這一點也是這無數個點運動、變化后的終點，只要選定某一點為起點，則其余任一點均不可以代替其地位;(3)若將圓上的點用正整數予以排序、編號，只要指定起始方向，那么，這里的順序，不可更替;(4)圓上的點，連續不斷，只要“抽掉”其中的任意一點，則圓的“形象”，立即“遭遇”“致命”的“破壞”.

(責任編輯 金 鈴)