讓學生的能力在習題課上盡情綻放

習題課不僅能讓學生鞏固所學的知識，提高學生的運算能力和應用知識解決問題的能力，更重要的是可以在習題課上以題目為載體，培養學生的邏輯思維能力和創造性的思維能力.請看下面的一個教學片段:

師:下面請大家來完成一組題目.(教師用幻燈片出示第一題)

(1)C是線段AB上一點，M、N分別是AC、BC的中點，AC=10，BC=4，求MN的值.

……

在教師巧妙地點撥和指導下，學生自己提出并解決了兩個問題:

變式1:點C是線段AB上一點，M、N分別是AB、BC的中點，AB=14，求MN的值.

變式2:點C是線段AB上一點，M、N分別是AB、BC的中點，MN與AB之間有什么大小關系.

師:如果將第(1)題中的點C的位置改成在線段AB的延長線上，其余的條件不變，MN的長度是多少呢?(教師用幻燈片出示題目)

(2)如圖1，點C是線段AB延長線上一點，M、N分別是AC、BC的中點，AC=10，BC=4，求MN.

圖1

生1:MN=MB+BN=MB+12BC，但MB沒辦法求.

生2:我把AC畫成10㎝，BC畫成4㎝，然后量出MN為3㎝，但我不會說理由.

師:你非常聰明，度量法是我們學習幾何常用的一種方法.與第(1)題相比，由于圖形比較復雜難度增加了.我給大家幾點提示:1.兩題相比，它們有許多相同的條件，能不能在第一題的基礎上得到啟發?2.我們也可以將復雜的圖形進行分解.3.MN可以表示成兩條線段的和，還可以怎樣表示呢?

圖2

生3:圖中的MN=MC-NC，再由M、N分別是AC、BC的中點，從而求出MC=12AC=5，NC=12BC=2，進一步得出MN=3.

生1:老師我用剛才的方法也求到了.MN=MB+BN=MB+12BC=MC-BC+12BC=12AC-12BC=3.

師:很好!生1有一股持之以恒的精神值得大家學習.解決這個問題還有其他的方法，但生3的方法要簡單一些，大家在解題的過程中盡可能選擇比較簡潔的方法.通過這一題的練習，大家在解題思路和解題方法上有什么收獲?(學生暢所欲言)

生4:遇到復雜的圖形就進行分解，按照開始的思路不能繼續時，換個角度繼續思考.

生5:遇到的新問題如果感覺困難，可以和已經會做的一些簡單的題目做對比，看看有沒有相同的條件，能不能用類似的方法解決.

師:同學們說得非常好!我們現在能不能將第(2)題也像第(1)題一樣進行變式并給予理由說明呢?

生:變式1:點C在線段AB的延長線上，M、N分別是AC、BC的中點，AB=6，求MN.

變式2:點C在線段AB的延長線上，M、N分別是AC、BC的中點，MN與AB之間有什么大小關系.

師:同學們完成的不錯.通過這些練習，我們已經有了一些收獲，還能得到其他的結論嗎?

生6:老師，我發現點C在線段AB上與C在線段AB延長線上時都有MN=12AB.點C在線段AB上時點C也在線段MN上，MN=MC+NC;C在線段AB延長線上時C也在線段MN的延長線上，MN=MC-NC.

生7:老師，我發現點C在線段AB的反向延長線上時也有MN=12AB.這樣就得到:點C只要在線段AB所在的直線上，M、N分別是AC、BC的中點，總有MN=12AB.

師:生7總結得很到位.大家掌聲鼓勵!

生8:這樣就可以先有MN的長度，然后求AB.

生9:老師，由這些題目我還想到了點C在直線AB外，結論是否成立?我經過度量好像也成立，對嗎?

師:你提的問題非常好!結論確實成立，至于成立的理由我們在八年級會繼續學習.同學們為生9的鉆研精神鼓掌.

生10:我由線段的中點想到了線段的三等分點，點C只要在線段AB所在的直線上，M、N分別是AC、BC的三等分點，是否有MN=13AB呢?

師:生10由線段的中點想到了線段的三等分點給大家提出了一個非常好的問題，請大家先思考然后一起來解決這個問題.

生11:我覺得線段的中點只有一個，但線段的三等分點有兩個，結合第一題的圖形，好像不一定成立.

師:同學們再看一下有沒有可能成立，如果成立的話需要什么條件?

生12:只要MC=13AC，NC=13BC，就有MN=13AB.

師:如果MC=23AC，NC=23BC，那MN與AB之間應是什么關系?

生13:MN=23AB.

師:由生10所引出的問題大家應該能得到四等分點、五等分點……的情況.

生14:點C在線段AB所在的直線上，M、N分別是AC、BC的一個N等分點，只要MC=1nAC，NC=1nBC，就有MN=1nAB.

師:同學們都很棒，老師真為你們高興!同樣點C在線段AB所在的直線外，只要滿足剛才的條件，就能得到同樣的結論.這個內容大家將在九年級學習.

生15:老師，我想到了角的平分線和線段的中點有許多類似的性質，借助于剛才的研究方法，我們也可以解決和角的平分線有關的一類題目.

如:(1)OC是∠AOB內一條射線，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC.∠MON與∠AOB有什么關系?

(2)當射線OC在∠AOB外，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC.∠MON與∠AOB有什么關系?

師:你太棒了，老師為你驕傲!由于時間的關系生15所提的問題就作為課后思考題，下節課我們首先來解決這個問題.

反思:這節課我的設計意圖是復習如何求線段的長度.原想在后半節課拋出這六道題目，目的是通過從特殊到一般的變式訓練讓學生初步體會分類討論的思想在幾何中的應用，體會用類比的方法解決幾何問題的好處，讓學生注意總結題目中存在的一般規律，這樣既充分發揮了這一組作業題的潛在功能，同時也激發學生學習數學的興趣和熱情，培養學生的能力.生7、生8的回答在我的意料之中，由于初一的學生剛剛接觸幾何，我不想挖的太深，準備有了這兩個結論后，再適當的做一些鞏固練習.

在實際施教中，考慮到學生在做題目時，也可以不完全處在被動的地位，我就稍微作了一些調整，用15分鐘復習完基本的知識點和一些簡單的題目后，只出示了第(1)題，由學生學著說理，教師板書了過程，為學生寫過程做了示范.然后我就引導學生自己將題目進行變形，讓他們自己提出問題并解決問題.適當的引導后再出示了第(2)題，由于不少的學生受思維定勢的影響，總認為MN=MB+BN，根本不去考慮MN的其他表達方式，這就需要教師點撥，在一題多解的情況下要求學生盡可能選擇最優的解法.接著引導學生用類比的方法又得到了兩個變式題，再讓他們自己邊講解邊寫過程.教師的一句“通過這些練習，我們已經有了一些收獲，還能得到其他的結論嗎?”充分調動了學生學習的積極性.生9的回答讓我改變開始的計劃.

啟示:

一、精心設計——培養學生能力的前提條件

課堂教學是培養學生創造力的主陣地，一節好課的標準就是讓學生在最短的時間內獲得最大的收獲，學生不僅要獲得必要的數學知識，更重要的是掌握一些學習數學的方法.因此在教學中教師要認真鉆研教材，不但把握其顯性的內容，而且注意挖掘教材潛在的知識要素，力求準確深入地運用教材進行教學，備課時可以精心設計一些一題多解一題多變的問題，設計一些開放題型的題目，這樣學生的能力才能得到鍛煉，才會舉一反三，觸類旁通.

二、大膽表述——培養學生能力的重要保證

愛因斯坦曾說:提出一個問題往往比解決一個問題更重要.課堂上給學生一些問題作引子，讓他們動腦、動口、動手、獨立思考，教師根據學生的反應作出相應的調整，對于一些學生能完成的教學內容，教師絕不包辦代替，由學生自己提出問題并進行講解，既鍛煉學生勇氣及語言表達能力，又激發了學生學習的積極性，學生在可見的情境中，運用所學的知識解決問題，進而達到對知識的理解和掌握.學生的發現可能是不完整的、凌亂的，但這是學生思維過程的真實寫照，教師可以通過積極的問題引導，有效地促進學生不斷完善并深化自己的思考，讓學生深刻感悟所學的內容.

三、探究總結——培養學生能力的必要途徑

在課堂上教師要引導學生利用已有的知識和生活經驗，自己去發現新問題，探究新知識，由于面對的是一群有著不同的生活經歷、不同想法的生命體，這就要求教師要善于抓住一些有利于學生發展的生成性資源及時地開發和利用.學生經過發現和探究，他們會感到好奇、興奮，產生愉悅的心理體驗，不斷地獲得這種體驗能讓學生對學習產生內驅力，他們自己愿意去學，樂于去學，只有這樣學習，理解才最深刻，也最容易掌握知識間的內在規律和聯系.在本節課一連串的問題中教師只是出了兩道題板書了第一題的過程，其余的時間都給了學生，教師適當的表揚和鼓勵、巧妙地點撥、恰當地引導讓學生在主動探索、積極思考、大膽想象中，把問題不斷引向深入，自然而然地將問題延伸到課外.一個問題的解決并不等于思維過程的結束，而是深入研究的開始真讓人回味無窮.

(責任編輯 金 鈴)