例談運用轉化思想提高二次函數綜合題教學的有效性

“知識是軀體，問題是心臟，思想是靈魂，方法是行為”是對如何學好數學的高度概括，問題是思維的起點和源泉，問題轉化是化歸思想的主要體現，它是我們解決數學問題常用的“分析法”:要求(證)“什么”，必須先知道是“誰”，而要知道是“誰”，又要求(證)“什么”?如此反復思考，最終把問題轉化為已知條件或定義、定理、公式、性質等，即把深層次問題轉化為淺層次問題——化未知為已知、化繁為簡、化難為易、化動為靜、化抽象為具體等.下面筆者將通過自己在教學過程中學生普遍反映比較難且錯誤率高的一些習題，談談運用轉化思想提高二次函數教學有效性的一些思考.

【例1】 (2008，杭州)在直角坐標系xOy中，設點A(0，t)，點Q(t，b)(t，b均為非零常數).平移二次函數y=-tx2的圖象，得到的拋物線F滿足兩個條件:①頂點為Q;②與x軸相交于B、C兩點(|OB|<|OC|)，連接AB.

(1)是否存在這樣的拋物線F，使得|OA|2=|OB|#8226;|OC|?請你作出判斷，并說明理由;

(2)如果AQ∥BC，且tan∠ABO=32，求拋物線F對應的二次函數的解析式.

分析:(1)轉化思想:公式|OA|2=|OB|#8226;|OC|轉化為b、t的關系式的“瓶頸”:如何把線段OA、OB、OC的長度用b、t的關系式表示?

設y=-t(x-t)2+b， 令y=0，得 x1=t-bt，x2=t+bt，代入|OA|2=|OB|#8226;|OC|，得關于b、t的關系式t2=|t-bt|#8226;|t+bt|，得b=2t3.

(2)轉化思想1:函數問題轉化為方程問題.問題的“瓶頸”:條件AQ∥BC怎么用?即b=t.

設y=-t(x-t)2+t，令y=0，解得x1=t-1，x2=t+1.由OA=|t|，OB=|t-1|或|t+1|.

轉化思想2:絕對值方程問題轉化為分類討論求t值的問題.問題的“瓶頸”:根據拋物線對稱軸、開口方向的不同情況，分類討論、力求完整.

tan∠ABO=OAOB=32，故|t||t-1|=32或|t||t+1|=32.

當t>0，t-1>0y=-3x2+18x-24;

當t>0，t-1<0y=-35x2+1825x+48125;

當t<0，t+1>0y=35x2+1825x-48125;

當t<0，t+1>0y=3x2+18x-24.

其他4種情況無解.

【例2】 (2009，紹興)定義一種變換:平移拋物線F1得到拋物線F2，使F2經過F1的頂點A.設F2的對稱軸分別交F1、F2于點D、B，點C是點A關于直線BD的對稱點.

(1)如圖1，若F1:y=x經過變換后，得到F2:y=x2+bx，點C的坐標為(2，0)，則

①B的值等于;

②四邊形ABCD為().

A.平行四邊形B.矩形C.菱形D.正方形

(2)如圖2，若F1:y=ax2+c經過變換后，點B的坐標為(2，c-1)，求三角形ABD的面積;

(3)如圖3，若F1:y=13x2-23x+73經過變換后，AC=23，點P是直線AC上的動點，求點P到點D的距離和到直線AD的距離之和的最小值.

圖1圖2圖3

分析:(1)第(1)小題轉化思想:拋物線坐標點轉化為四邊形的頂點求對角線的長，然后判斷兩對角線的位置關系.問題的“瓶頸”:變換后的拋物線解析式怎樣求?點B、D的坐標怎樣求?

(2)轉化思想:平移后的拋物線圖象轉化為解析式.問題的“瓶頸”:求△ABD的面積，關鍵是求BD的長，怎樣求?必須知道B、D點坐標，怎樣求?先求出拋物線F2的解析式，拋物線F2的解析式可設為y=ax2+bx+c，頂點坐標為B(2，c-1)，過點C(4，c)，代入解得a=14，b=-1，c求不出來，聯系圖象發現線段BD的長與c的值無關.所以拋物線F1的解析式為:y=14x2+c，求得D點的坐標為(2，c+1)，BD=2，解得△ABD的面積為2.

(3)轉化思想:把距離之和的最小值轉化為垂線段的長度.問題的“瓶頸”:這個問題比較復雜，怎樣把復雜問題簡單化呢?先把已知條件落實，盡量減少不確定的量.

由拋物線F1:y=13x2-23x+73，求得A點的坐標為(1，2)，C點的坐標為(23+1，2)，

拋物線F2的對稱軸為直線x=3+1，求得D點坐標為(3+1，3)，

拋物線F2的解析式可設為y=13x2+bx+c，

對稱軸為直線x=3+1，求得b=-233-23.

經過點A(1，2)，求得c=233+73，所以B點坐標為(3+1，1).

轉化思想:求點P到點D的距離和到直線AD的距離之和的最小值?

從問題的提問方式來看，應該把它轉化為軸對稱問題去考慮，但直接不能轉化，怎么辦?聯系(1)(2)兩小題的思路，可以把四邊形ABCD連結起來，發現是一個菱形，過B點作直線AD的垂線段，與AC的交點就是距離之和的最小值時的P點位置，所以最小值為3.

問題的轉化是一種思維方法，每一個具體問題如何去實現這種轉化過程，關鍵是如何尋找正確的轉化的途徑，在教學中可以嘗試將問題類比轉化與聯想轉化.

1.類比轉化

初中數學，有許多概念或定理就是通過類比來學習的，如數軸就是類比于溫度計，又如直線和圓的位置關系類比于點和圓的位置關系等.合理的類比有利于數學知識的條理化、系統化，有利于數學思想方法的滲透.二次函數問題可以通過類比轉化為一元二次方程去解決，一元二次方程問題也可以通過類比轉化為二次函數去考慮.

如例1第(1)小題:首先不難想到要把線段OA、OB、OC的長度表示出來，OA=|t|，OB、OC的長我們會考慮先把B、C兩點的坐標求出來，怎樣求呢?可以用類比的轉化思想，由二次函數y=-t(x-t)+b與x軸的交點想到求方程-t(x-t)2+b=0的兩根.

2.聯想轉化

平時我們經常利用數形結合將代數問題轉化為幾何問題，函數問題轉化為方程問題等，其實這是一種聯想轉化.

如例2第(2)小題:判斷四邊形ABCD的形狀，因為圖中有對角線AC、BD的連線，所以容易聯想到利用對角線的長度、位置關系來判斷四邊形的形狀.

日常教學中發現學生把問題轉化之后就能輕松解決，但往往對什么條件進行轉化?為什么會想到這樣去轉化?是學生掌握轉化思想解二次函數題目的“瓶頸”所在.在教學中可以嘗試將問題轉化條件、轉化結論和條件同時轉化來著手突破“瓶頸”.

1.轉化條件

有些條件看上去好像無法用，或者不能直接用，而實際上這些條件常常是這個思路的起點，因此我們要讓學生把這些條件轉化為問題的實用條件.

如例1第(2)小題，條件AQ∥BC怎么用呢?結合圖象發現直線BC就是x軸，AQ∥BC實際上說明Q點縱坐標為t.

2.轉化結論

有些問題光憑條件可能無從著手，這種情況我們不妨轉化一下結論.

如例2第(2)小題，求ABC的面積，結合圖形發現實際只要求出底BD的長即可，要求BD的長關鍵是求出B、D兩點的坐標，要求D點坐標應該先求拋物線F1的解析式.因此以轉化結論作為突破口，比較容易想到該題的解題思路.

3.條件、結論同時轉化

有些問題只轉化條件或只轉化結論往往都不能解決，這種情況我們可以條件、結論同時轉化.

如例2第(3)小題，直接做并不能一下子找到思路，這時不妨把已知條件轉化使問題盡量簡潔，也就是做到做不下去為止，可以先求出A、C兩點的坐標，再求出拋物線F2的解析式，再求出B、D兩點的坐標，做到這里好像山窮水盡了.此時再去轉化結論，聯想第(1)(2)兩個小題的結論，把四邊形ABCD連起來，發現是一個菱形，然后轉化為軸對稱問題去考慮，思路就很清楚了.

數學解題的過程是不斷轉化問題的過程，不斷地把未知問題轉化為已知問題，把陌生問題轉化為熟悉問題、把繁雜問題轉化為簡單問題的過程，問題的內部結構和相互之間的聯系，決定了處理這一問題的方式、方法，因此教師在平時的教學中，要把學習內容問題化，要充分揭示問題間的內部聯系，正確引導學生分析問題，解決問題，升華問題轉化意識，發展問題轉化能力.

(責任編輯 金 鈴)