Markowitz均值-方差模型與RAROC模型在中國(guó)證券市場(chǎng)的實(shí)證研究

摘要:從Markowitz均值-方差的基本模型入手，分析其缺陷并引入其修正模型和在此基礎(chǔ)上改進(jìn)的RORAC模型。兩個(gè)模型采取了不同的風(fēng)險(xiǎn)衡量度量方法。在MATLAB環(huán)境下運(yùn)用遺傳算法求解在同一收益水平下的兩個(gè)模型風(fēng)險(xiǎn)水平。對(duì)深圳證券交易所數(shù)據(jù)的實(shí)證研究，證實(shí)修正后的Markowitz模型的風(fēng)險(xiǎn)控制能力強(qiáng)于RORAC模型的VAR風(fēng)險(xiǎn)控制方法。

關(guān)鍵詞:Markowitz均值-方差模型;RAROC模型;遺傳算法;風(fēng)險(xiǎn)控制

中圖分類(lèi)號(hào):F224.0 文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A文章編號(hào):1673-291X(2010)02-0103-04

一、Markowitz均值-方差模型及其修正

1.Markowitz的均值-方差模型

Markowitz于1952年在《金融雜志》發(fā)表了里程碑式的論文《證券組合選擇》，奠定了證券組合理論的基礎(chǔ)， 標(biāo)志著現(xiàn)代證券組合理論的開(kāi)端，提出的均值-方差模型開(kāi)創(chuàng)了在不確定性條件下理性投資者進(jìn)行資產(chǎn)組合投資的理論和方法， 第一次用精確的數(shù)理模型證明了分散投資的優(yōu)點(diǎn)。 該模型已成為目前投資理論和投資實(shí)踐的主流方向。在文章中，他指出由于各種證券的相關(guān)性，使得只要證券之間存在不完全的正相關(guān)，就可以利用組合投資來(lái)降低風(fēng)險(xiǎn)。在Markowitz的均值-方差模型中，采用期望代表資產(chǎn)的預(yù)期收益，方差(或標(biāo)準(zhǔn)差)代表風(fēng)險(xiǎn)來(lái)研究資產(chǎn)的選擇和組合。

模型成立的假設(shè)條件如下:(1)投資者以期望收益率(亦稱(chēng)收益率均值) 來(lái)衡量未來(lái)實(shí)際收益率的總體水平，以收益率的方差(或標(biāo)準(zhǔn)差) 來(lái)衡量收益率的不確定性(風(fēng)險(xiǎn))，因而投資者在決策中只關(guān)心投資的期望收益率和方差。(2)投資者是不知足的和厭惡風(fēng)險(xiǎn)的，即投資者總是希望期望收益率越高越好，而方差越小越好。(3)投資者都遵守占優(yōu)原則:同一風(fēng)險(xiǎn)水平下，選擇收益率較高的證券;同一收益率水平下，選擇風(fēng)險(xiǎn)較低的證券。(4)投資者事先知道投資收益率的概率分布。

minσ2ρ=X'ΣXRρ=X'Rxi=1，xi≥0，i=1，2，……，n

其中，X=(x1，x2，……，xn)T，X'=(x1，x2，……，xn)，xi表示第i支股票的投資占總投資額的比例。∑=(ρij)n×n，ρij為股票i，j的相關(guān)系數(shù)，前者為相關(guān)系數(shù)矩陣。Rρ為投資組合的預(yù)期收益率，R=(r1，r2，……，rn)T為每一支股票的預(yù)期收益率。

Markowitz的模型簡(jiǎn)潔易懂，但是存在一定的缺陷。首先，為了保證取得最低的風(fēng)險(xiǎn)，在Markowitz的這個(gè)模型中允許賣(mài)空的存在，即xi為負(fù)，但在很多國(guó)家賣(mài)空機(jī)制是不允許在股票市場(chǎng)操作的，因此，有必要加入不允許賣(mài)空的約束條件。其次，Markowitz的模型為了簡(jiǎn)單起見(jiàn)忽略了證券交易費(fèi)用，這樣也使得實(shí)際最優(yōu)解和模型最優(yōu)解有出入。再次，此模型只考慮了有風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，在CAPM模型中加入了對(duì)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的討論，因此，我們也可以引入無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)。另外，也有很多后續(xù)的研究表明證券的風(fēng)險(xiǎn)并不是完全按照收益概率函數(shù)對(duì)稱(chēng)分布在兩側(cè)，也存在偏度風(fēng)險(xiǎn)和峰度風(fēng)險(xiǎn)，這就要考慮到風(fēng)險(xiǎn)衡量的問(wèn)題。

2.修正的均值-方差模型

在考慮到上述缺陷后，有學(xué)者提出了均值-方差修正模型:

minσ2ρ=X'ΣXRρ=X'R-C(xi)+r0x0xi=1，xi≥0，i=1，2，……，nxi≥0，i=1，2，……，n

其中，C(xi)=xiSci，xiS≥aiaici，xiS≤ai，為交易費(fèi)用的模型，第i支股票的C(xi)為交易費(fèi)用，S為總資產(chǎn)額，ci，i=1，2，……，n，為第i支股票的交易費(fèi)用率，當(dāng)購(gòu)買(mǎi)額不超過(guò)給定值ai，i=1，2，……，n，交易費(fèi)用按ai計(jì)算。無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)比例x0，以銀行存款利率作為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)收益率r0 。要求所有投資比例都大于0，xi≥0，i=1，2，……，n。

該模型彌補(bǔ)了前面提到的幾個(gè)缺點(diǎn)。但關(guān)于風(fēng)險(xiǎn)度量的問(wèn)題，有學(xué)者引入VAR的概念構(gòu)造新的模型。

二、RAROC投資組合模型

1.風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值(VAR)和RAROC指標(biāo)的引入

風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值(Value at Risk，VAR)是指市場(chǎng)處于正常波動(dòng)時(shí)，給定的置信水平下，某一項(xiàng)金融資產(chǎn)或組合可能遭受最大損失的可能性。數(shù)學(xué)表達(dá)式:P(Δρ>VAR)1-a。

其中，Δρ為投資組合在持有期Δt內(nèi)的損失，VAR為置信水平a下處于風(fēng)險(xiǎn)中的價(jià)值。

假定在投資組合持有期內(nèi)，每支股票的收益都是上下波動(dòng)的，我們把收益率為負(fù)的記為損失樣本，收益率為正的記為收益樣本。因此，對(duì)于單支股票，我們用單個(gè)股票樣本持有期內(nèi)的期望損失來(lái)作為單個(gè)股票的VAR值。它的優(yōu)點(diǎn)在于能夠有效地應(yīng)對(duì)證券市場(chǎng)崩盤(pán)、金融危機(jī)發(fā)生等極端情況，直觀明晰，易于把握。

投資組合整體VAR也可以由單個(gè)股票的VAR值得出:

VARρ=xixjVARiVARjρij

其中，VARρ為投資組合整體VAR值，VARi，VARj分別為股票i，j的值，xi，xj分別為股票i，j的投資比例，jρij為股票i，j的相關(guān)系數(shù)。

風(fēng)險(xiǎn)調(diào)整資本收益(Risk-Adjusted Return on Capital，RAROC)指標(biāo)最初由Banker’s Trust Group首創(chuàng)，最初是為了度量銀行信貸資產(chǎn)組合的風(fēng)險(xiǎn)和在特定損失率下為限制風(fēng)險(xiǎn)敞口必須的股權(quán)數(shù)量。現(xiàn)在主要被銀行和金融機(jī)構(gòu)采用，通過(guò)風(fēng)險(xiǎn)因素評(píng)估商業(yè)活動(dòng)的經(jīng)濟(jì)回報(bào)率。

2.RAROC模型的建立

該模型以VAR作為風(fēng)險(xiǎn)度量的工具，以RAROC作為目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)構(gòu)造投資組合優(yōu)化模型。RORAC以投資組合的收益與風(fēng)險(xiǎn)組合的VAR的比值來(lái)衡量，經(jīng)濟(jì)意義是單位風(fēng)險(xiǎn)下的預(yù)期收益。則模型的數(shù)學(xué)公式表示如下:

maxRAROC==s.t.xi=1，xi，xj≥0

三、在MATLAB的環(huán)境下用遺傳算法解決投資組合問(wèn)題

1.遺傳算法

遺傳算法(Genetic Algorithm)是一種模擬達(dá)爾文的遺傳選擇和自然淘汰的生物進(jìn)化過(guò)程演化而來(lái)的隨機(jī)化搜索方法。它由美國(guó)J.Holland教授于1975年提出，主要通過(guò)對(duì)結(jié)構(gòu)對(duì)象進(jìn)行操作，不存在求導(dǎo)和函數(shù)連續(xù)性的限定，具有內(nèi)在的隱并行性和更好的全局尋優(yōu)能力。而最優(yōu)化問(wèn)題是遺傳算法最經(jīng)典的應(yīng)用領(lǐng)域。遺傳算法主要步驟有初始化種群、計(jì)算適應(yīng)度、通過(guò)選擇、交叉、變異等遺傳操作產(chǎn)生新一代群體的個(gè)體，一代一代的優(yōu)化最終找到符合條件的解。

2.MATLAB環(huán)境下的遺傳算法應(yīng)用

在MATLAB7.0中，提供了一個(gè)自帶的遺傳算法工具包，不僅可以將已編好的函數(shù)添加到自己的程序中，更提供了一個(gè)人性化的GA操作界面，在command window中輸入“gatool”，即可打開(kāi)該界面，大大方便了用戶的使用。界面如圖1:

圖1 MATLAB環(huán)境下的遺傳算法界面

左側(cè)窗口可以自定義適應(yīng)函數(shù)，確定線性等式、不等式和非線性約束條件。

右側(cè)選項(xiàng)欄目可以設(shè)定種群、選擇交換變異等的概率、遺傳代數(shù)等一系列參數(shù)。

四、兩個(gè)模型在中國(guó)證券市場(chǎng)的實(shí)證研究

1.樣本的選擇

樣本由從深圳證券交易所上市的股票中隨機(jī)選擇8支股票構(gòu)成。選取2009年6月1日至7月24日八個(gè)交易周的漲跌幅作為收益率。各樣本的歷史價(jià)格均作了相應(yīng)的復(fù)權(quán)處理。數(shù)據(jù)均來(lái)自大智慧股票行情分析系統(tǒng)。原始數(shù)據(jù)情況如表1:

2.樣本股票期望收益率、相關(guān)系數(shù)、VAR和RAROC的計(jì)算

(1)樣本股票期望收益率

E(ri)=rik，i=1，2.……，n.k=1，2.……，m

其中，rik為第i支股票第k周的收益率。經(jīng)計(jì)算得:(見(jiàn)表2)

(2)樣本股票的相關(guān)系數(shù) ρij=

在MATLAB中有提供的對(duì)于矩陣進(jìn)行相關(guān)系數(shù)計(jì)算的函數(shù)，則輸入數(shù)據(jù)可直接得到相關(guān)系數(shù)矩陣，如表3:

表3 樣本股票之間的相關(guān)系數(shù)

(3)樣本股票的VAR和RAROC計(jì)算

根據(jù)以上公式計(jì)算，可以得出以下結(jié)果:(見(jiàn)表4)

3.利用遺傳算法求解

利用遺傳算法在給定相同的參數(shù)后比較兩者的計(jì)算結(jié)果。因?yàn)槲覀兘o出的Markowitz均值-方差模型需要在給定預(yù)期收益率的前提下尋求最優(yōu)解，因此，我們先對(duì)RAROC模型使用遺傳算法，1000代的遺傳運(yùn)算如圖2所示。

圖2 RAROC模型1000次迭代后均值和最優(yōu)解收斂曲線

計(jì)算給出的各股票投資權(quán)重和預(yù)期收益率見(jiàn)表5(總投資額按照一百萬(wàn)元計(jì)算)

根據(jù)上述結(jié)果，在收益率為0.030588的條件下，計(jì)算Markowitz均值-方差模型給出的投資權(quán)重。(見(jiàn)表6)

運(yùn)算過(guò)程如圖3所示:

用樣本數(shù)據(jù)后的四周(2009年7月27日至8月21日)的數(shù)據(jù)進(jìn)行比較，見(jiàn)表7。

這四周的總收益情況如圖4所示，圖中可以清楚反映兩個(gè)模型在風(fēng)險(xiǎn)控制方面的差別。

圖4兩個(gè)模型投資收益波動(dòng)情況

如圖所示，紅色區(qū)域的面積除了第一周大于藍(lán)色外，其余各周均在藍(lán)色區(qū)域內(nèi)，表明均值-方差模型的波動(dòng)劇烈程度小于RAROC模型，即均值方差模型的風(fēng)險(xiǎn)控制能力更好。

五、總結(jié)

RAROC模型給我們提供了一個(gè)可以參考的風(fēng)險(xiǎn)防范的方法，但是，由于它主要考慮到的是極端情況下的風(fēng)險(xiǎn)，因此，在實(shí)際應(yīng)用中收益和風(fēng)險(xiǎn)波動(dòng)情況還是相對(duì)于改進(jìn)后的Markowitz模型更加劇烈和不穩(wěn)定的。在模型的求解過(guò)程中我們發(fā)現(xiàn)遺傳算法對(duì)于求解目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題是快速而有效的。對(duì)于RAROC模型的修正和遺傳算法的改進(jìn)有待進(jìn)一步研究。

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注:本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文