幾何變換在初中幾何解題中的應用

摘 要:結合具體的題目，探討軸對稱變換、平移變換及旋轉變換等數學思想和方法在解決初中幾何問題中的應用。

關鍵詞:幾何變換;軸對稱變換;平移變換;旋轉變換

在舊教材里涉及幾何變換的題目不多，新教材則明顯增添了許多有關平移、軸對稱、旋轉及位似圖形等內容。八年級上冊第三章《圖形的平移與旋轉》里列舉了諸多我們身邊具有平移、軸對稱及旋轉等特征和規律的生活實例，如旋轉小木馬、蕩秋千、小火車、滑梯……在數學學習中利用旋轉、平移的不變性及軸對稱圖形的性質特點來解決一些條件比較復雜或分散的幾何題目，是學生較難把握的一個難點。教材中，幾何變換的核心問題就是把圖形進行變換，把一般的分散的幾何條件集中在一起轉化為特殊的圖形，或者把一個位置上的圖形通過幾何變換轉化為另一個位置上的相應圖形，然后運用圖形變換的“不變性”使問題得以解決。利用幾何變換解題時，通常不需要對整個圖形進行變換，只需對圖形中的有關部分進行變換，使相關的隱含或一般條件集中在一起化為特殊關系，這樣有利于問題的解決。通過幾何變換把一般條件化為有利條件，同時讓有用的條件保持不變。

一、利用軸對稱變換解題

如果問題所給圖形是軸對稱圖形，或者隱含軸對稱，則可作對稱軸，運用軸對稱變換的一些相關性質去解題。如果問題中的圖形某一部分關于一條直線對稱或具備可以構成軸對稱的特征條件時，我們可以嘗試作軸對稱變換，這樣就可以通過適當的遷移把分散的條件集中在適當的位置。

例1 如圖1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AD是中線，CF⊥AD于E，交AB于F。求證:∠ADC=∠FDB。

分析:注意到等腰直角三角形是軸對稱圖形，便可作斜邊的高CH交AD于G，則△ACH和△BCH都是等腰直角三角形，H是AB的中點，連接DH，則DH是等腰直角△BCH的對稱軸。根據對稱性，實際上只需要證明△DGH≌△DFH。因此，該問題就轉化為證明HG=HF。

證明:做AB的高CH交AD于G，連接DH。

∵CF⊥AD

∠GHF=∠GEF=90°

∴GEFH四點共圓

∵∠AGH=∠CFH∠ACB=90° AC=BC

∴H是AB的中點，從而AH=HB=CH

∴△AHG≌△CHF

∴HG=HF

∵AD是中線，即D為BC的中點

∴AC∥HD，從而HD⊥BC，即HD是等腰直角△CHB的頂角的平分線

∴∠GHD=∠FHD∴△DGH≌△DFH

∴∠GDH=∠FDH∴∠ADC=∠FDB

例2 如圖2，在△ABC中，AB>AC，自BC的中點M作直線垂直于∠A的平分線AD，交AB于E，交AC的延長線于F。求證:

(1)BE=CF=(AB-AC)

(2)∠BME=∠CMF=(∠ACD-∠B)

分析:AD是∠BAC的對稱軸，為了得到位于∠BAC兩邊上的線段差AB-AC，可作C點關于AD的對稱點C′，此點就落在AB上，且有AC=AC′，EC′=CF，BE=EC′。同時，由于對稱軸的關系，有∠ACD=∠AC′D。因此，該問題就轉化為:∠BME=∠CMF=∠BDC′=∠C′CD。

證明:

(1)∵AD是∠A的平分線，可作C點關于AD的對稱點C′，連接C′D

∴AC=AC′，DC′=DC，∠ACD=∠AC′D

∵EF⊥AD

∴AE=AF，從而EC′=CF，CC′∥EF

∵M是BC的中點

∴BE=EC′

∴BE=CF=(AB-AC′)=(AB-AC)

(2)∵DC= DC′

∴∠DCC′=∠DC′C=∠C′DB=(∠AC′D-∠B)= (∠ACD-∠B)

∵CC′∥EF

∴∠BME=∠CMF=∠DCC′

∴∠BME=∠CMF=(∠ACD-∠B)

二、利用平移變換解題

教材中提到“平移不改變圖形的形狀和大小”，我們利用平移變換可以將線段在保持平行且相等的條件下移動位置，也可以在角保持大小和方向不變的條件下移動位置，即利用平移變換的不變性解題。當圖形中線段或角的位置分散，為了解題的需要，我們可以考慮用平移變換的方法把有關的線段和角移到一個有關的區域內，使問題得以簡化

例3 如圖3，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，AC⊥BD于E，M和N分別是AD和BC的中點，CF⊥AB于F。求證:MN=CF。

分析:注意到MN是中位線，要證MN=CF，只需證CF=(AB+CD)。這就需要把AB、CD放在同一個圖形上，使得條件相對集中。注意到AB∥DC，只需要把DC平移到和AB相接而構成三角形。

證明:過點C作CG∥DB，交AB的延長線于G。

∵AB∥DC

∴四邊形DCGB是平行四邊形

∴GC=BD，GC∥BD，DC=BG

∵AD=BC

∴梯形ABCD是等腰梯形

∴AC=BD，

∴AC=GC

∵AC⊥BD

∴AC⊥GC

∵CF⊥AB

∴CF是等腰直角三角形ACG斜邊上的高，即CF=1/2(AB+BG)=(AB+DC)

∵MN是梯形ABCD的中位線，即MN=(AB+DC)

∴MN=CF

三、利用旋轉變換解題

我們知道旋轉變換也是三大幾何變換之一，通過適當的旋轉可以使一些毫無頭緒的疑難問題迎刃而解。如果圖形中有兩條線段相等或兩組角相等，可考慮利用旋轉變換的方法把圖形中分散的條件加以集中，把未知問題和已知條件之間的關系轉移到符合需要的位置上，這是問題解決的關鍵。

例4 如圖4，設D為△ABC 的邊BC上的中點，P是AB上的一點，Q是AC上的點且，PD⊥DQ。求證:BP+CQ>PQ。

分析:所求證的線段之間條件分散，如果注意到D為△ABC的邊BC上的中點，且PD⊥DQ，把△CDQ旋轉到△BDQ′的位置，則有以下關系:CQ=BQ′，DQ= DQ′，PQ=PQ′。因此，問題實際上就轉化為證明:BP+BQ′>PQ′。而這三者之間恰好是同一個三角形的三邊之間的關系。

證明:以D為中心，把△CDQ旋轉到△BDQ′的位置，連接P Q′。

則有:CQ=BQ′，DQ= DQ′。

∵PD⊥DQ

∴△PQQ′是等腰三角形，即PQ=PQ′。

∵BP+BQ′>PQ′

∴BP+CQ>PQ

例5 如圖5，P是等邊△ABC內的一點，PA=3，PB=4，PC=5。求:∠APB的度數。

分析:已知線段PA、PB、PC條件比較分散，但這三者剛好滿足勾股定理。因此，能否把三者集中到一個三角形中是求解的關鍵。注意到△ABC是等邊三角形，如果以B為中心，把△BAP旋轉到△BCQ的位置，則有:BA=BC，BP=BQ，PA=CQ，∠APB=∠CQB。再注意到，∠PBQ=∠ABC=60°。因此，已知條件就轉移到△CPQ內，根據三條線段之間的關系，可知∠PQC=90°，從而問題就轉化為求∠CQB的度數了。

解:以B為中心，把△BAP旋轉到△BCQ的位置，連接PQ。則有:BA=BC，BP=BQ，PA=CQ，∠APB=∠CQB。

∵△ABC是等邊三角形，即∠ABC=60°

∴△BPQ是等邊三角形，即∠PBQ=∠BQP=60°

∴BP=PQ

∵PA=3，PB=4，PC=5

∴△CPQ是直角三角形，從而∠CQP=90°

∴∠CQB=150°

∴∠APB=150°

以上我們通過舉例說明了幾種幾何變換在初中幾何解題中的應用。然而，在實際解題過程中，有時往往需要結合具體的題目綜合運用這幾種方法。至于位似變換，考綱的要求相對簡單一些，而且有些題目也只是這幾個方法的延伸而已，如圖形的放大和縮小等問題。在此，我們就不加以詳述了。

參考文獻:

[1]於增輝.平移和旋轉在解題中的應用[J].初中數學教與學，2005，(4).