精打細算巧解析

“牛人”檔案

解題“牛人”許志鋒，男，中學高級教師，臺州市“教學能手”，擁有20余年高三教學經驗，參加過教育部國家級骨干教師培訓并被授予合格證書。

愛好:解數學題。曾多次參加全國數學問題有獎征答活動并獲獎。

解析幾何中的圓錐曲線問題是高考解答題中的“常客”，它不僅考查了幾何問題代數化的轉化思想，對于同學們的運算能力更是一種考驗.本期我們的挑戰目標是2009年高考數學江西卷(文)第22題，我們不僅要探討其轉化思路，還將仔細分析各步計算細節，希望對同學們攻克解析幾何問題能有所啟發.

例如圖1所示，圓G:(x-2)2+y2=r2是橢圓+y2=1的內接△ABC的內切圓，其中A是橢圓的左頂點.

(1) 求圓G的半徑r;

(2) 過點M(0，1)作圓G的兩條切線交橢圓于E，F兩點，證明:直線EF與圓G相切.

解析: (1) 題中蘊涵的基本幾何關系是:△ABC內接于橢圓，外切于圓.“內接”意味著點A(-4，0)及另外兩點B，C的坐標適合橢圓方程;“外切”則告訴我們圓心G到△ABC三邊的距離均為r，且B，C兩點關于x軸對稱(因為圓心和點A均在x軸上). 可見，除要求的r外，只要設B(x1，y1)，則“△ABC內接于橢圓”?圳+=1 (①);“圓G與BC相切”?圳x1-2=r (②);AB的方程為:y=(x+4)，即y1x-(x1+4)y+4y1=0，則由“圓G與AB相切”可得=r (③). 這樣關于3個未知數r，x1，y1共建立了3個方程，聯立求解應當是可行的.

現在來“預算”一下聯立方程組的解法. 由②可得x1=r+2，代入①③，整理可得=1-，=，故1-= (④).

解到這里，若不假思索地按“去分母，去括號，移項合并同類項”的套路去整理，則必然會出現一個復雜的4次方程. 一旦碰到這種情形，很多同學會懷疑自己的算法不當，但其實r滿足的方程是客觀的，不會……