新鮮出爐之六

考試時(shí)最怕碰到什么題?是難題，還是從未見過的新題?在對(duì)考場(chǎng)心態(tài)的“破壞力”上，兩者的“段位”可謂不分伯仲.本工坊特推出“新鮮出爐”新題系列，拓展同學(xué)們的視野，讓大家從此不再怕新題!

1. 甲和乙進(jìn)行乒乓球?qū)官悾诿烤直荣愔屑撰@勝的概率都是p(0≤p≤1). 若比賽進(jìn)行6局，則甲恰好獲勝3局的概率的最大值是.

2. 在如圖1所示的正方形ABCD內(nèi)任取一點(diǎn)O，將點(diǎn)O與A，B兩點(diǎn)相連接，得到△OAB. 如果正方形內(nèi)(含邊界)每一點(diǎn)被取到的可能性都一樣，則△OAB是直角三角形和鈍角三角形的概率分別是多少?

3. 如圖2所示，質(zhì)點(diǎn)P在五角星ABCDE的五個(gè)頂點(diǎn)上按A→B→C→D→E→A的方向前進(jìn). 現(xiàn)投擲一個(gè)質(zhì)地均勻的正方體骰子，它的六個(gè)面中分別有兩個(gè)面上寫著數(shù)字1，兩個(gè)面上寫著數(shù)字2，兩個(gè)面上寫著數(shù)字3. 質(zhì)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，規(guī)則如下:若骰子朝上的數(shù)字是1，質(zhì)點(diǎn)P前進(jìn)一步(如由A到B);若朝上的數(shù)字是2，質(zhì)點(diǎn)P前進(jìn)兩步(如由A到C);若朝上的數(shù)字是3，質(zhì)點(diǎn)P前進(jìn)三步(如由A到D).在質(zhì)點(diǎn)P轉(zhuǎn)完一圈回到A點(diǎn)之前連續(xù)投擲，若超過一圈，則投擲終止.

(1) 求質(zhì)點(diǎn)P轉(zhuǎn)完一圈恰好返回到A點(diǎn)的概率;

(2) 在質(zhì)點(diǎn)P轉(zhuǎn)一圈恰能返回到A點(diǎn)的所有結(jié)果中，用隨機(jī)變量表示點(diǎn)P恰能返回到A點(diǎn)的投擲次數(shù)，求的數(shù)學(xué)期望.

【參考答案】

1. 解:設(shè)“比賽6局，甲恰好獲勝3局”為事件A，則P(A)=p3(1-p)3.

當(dāng)p=0或p=1時(shí)，顯然P(A)=0;

當(dāng)0

故甲恰好獲勝3局的概率的最大值是.

2. 解:設(shè)正方形ABCD的對(duì)角線交點(diǎn)為E，則“△OAB是直角三角形” 這個(gè)事件發(fā)生就相當(dāng)于點(diǎn)O恰好落在以AB為直徑的半圓弧AEB上(見圖3)，故P==0.

同理，“△OAB是鈍角三角形”這個(gè)……