計算不規則幾何體體積的“法寶”

轉化是把未知的問題轉化成在已有知識范圍內可解的問題的一種思想方法.前蘇聯數學家雅諾夫斯卡婭曾說過，“解題——就是意味著把所要解決的問題轉化為已經解過的問題”.因此，當我們碰到一個感覺難以著手的問題時，思維就不應該停留在這個問題上，而應考慮將它轉化為比較熟悉、容易解決的問題.

請看下面的例題.

例在多面體ABCDEF中(見圖1)，已知ABCD是邊長為3的正方形，EF∥AB，EF=，且EF與面ABCD的距離為2，求該多面體的體積.

分析: 這是一個不規則的幾何體. 在教材中，我們只學過棱柱、棱錐等規則幾何體的體積計算公式，因此我們思考的核心是:如何將不規則的幾何體轉化為熟悉的規則幾何體，進而確定其體積.

轉化1: 由于題中EF的位置未定，我們不妨讓線段EF沿它所在的直線動起來.顯然，這個過程并沒有改變題設的任何條件，因此不管線段EF運動到哪個位置，運動前后多面體的體積都不變.我們不妨讓EF運動到一個特殊位置:側面BCF⊥底面ABCD(如圖2所示).

過E作截面EHG⊥底面ABCD，則V=VBCF-HGE+VE-ADGH=×3×2×+×3××2=+3=.

點評: 轉化1通過使線段EF從一般位置運動到特殊位置，實現了從一般到特殊的轉化，再采用分割法來計算體積.

如果我們直接對圖1中的不規則幾何體進行分割，那會如何呢?

轉化2: 連接EB，EC，則多面體被分割成了四棱錐E-ABCD和三棱錐E-BCF(見圖3).

易知VE-ABCD=×(3×3)×2=6，于是問題就轉化為了求三棱錐E-BCF的體積.

過點E作EM∥FC(見圖4)，則M為DC中點，且EM∥平面BCF，于是點E與點M到面BCF的距離相等. ∴ VE-BCF=VM-BCF=VF-BCM=××3××2=， 故V=6+=.

點評: 轉化2采用了“分割+等積變形”的方法，實現了從陌生幾……