“優化組合”求兩面角

二面角是立體幾何中最重要的概念之一，也是高考不變的考查重點. 二面角的求解，知識綜合性強，方法靈活性大，還要運用空間想象能力和邏輯推理能力，很多同學由此產生了畏難情緒. 本文就二面角的典型求法作一歸納拓展，以饗讀者.

一、 優

求二面角的方法有很多，如定義法、三垂線定理(逆定理)法、垂面法、射影面積法、空間向量法等，考試中我們應選擇最“優”的方法進行解答，以提高效率.

例1在正n棱錐中，相鄰兩側面所成的二面角的取值范圍是

(A) π，π (B) π，π

(C) 0， (D) π，π

解析: 當正n棱錐的頂點無限趨近于底面正多邊形的中心時，相鄰兩側面所成的二面角小于π且無限趨近于π;當棱錐的高無限增大時，正n棱錐無限趨近于正n棱柱，此時，相鄰兩側面所成的二面角大于正n邊形的內角π且無限趨近于π，故答案為A.

評注: 在本題的求解過程中，如果同學們不加思考便按照常規方法去求二面角的平面角，就會使解題難度增大. 通過觀察和想象，利用特殊化方法，問題就簡明利落地得到了解決.

二、 化

“化”即轉化，二面角可以轉化為“線面角”“線線角”“法向量所成的角”，也可以逆向思考求其補角;求解無棱二面角還可利用射影公式，使問題簡化.

例2如圖1所示，在四棱錐P-ABCD中，PA，AB，AD兩兩垂直，BC∥AD，且AB=AD=2，PA=BC=1，求平面CDP與平面BAP所成角的余弦值.

解析: 對于無棱二面角，除作棱求解外，還可以利用射影面積來求解.∵ PA，AB，AD兩兩垂直，∴ DA⊥平面PAB;又∵ BC∥AD， ∴ BC⊥平面PAB. 故PA，PB分別為PD，PC在平面PAB上的射影， ∴ △PCD在平面PAB上的射影為△PAB. ∴ S△PCD#8226;cosθ=S△PAB (其中θ為平面PAB與PCD所成二面角……