三次函數“大行其道”

2009年高考數學全國卷Ⅰ(理)第22題已知函數f(x)=x3+3bx2+3cx有兩個極值點x1，x2，且x1∈[-1，0]，x2∈[1，2].

(1) 求b，c滿足的約束條件，并在圖1所示的坐標平面內，畫出滿足條件的點(b，c)的區域;

(2) 證明:-10≤f(x2)≤-.

解析: 本題以三次函數為背景，融函數、方程、導數、不等式等知識于一體，是綜合性較強的多元參數問題. 第(1)問主要考查了二次函數根的分布，以及線性規劃求可行域的能力，立意新穎.

由題意知f′(x)=3x2+6bx+3c，且方程f′(x)=0有x1，x2兩個根，x1∈[-1，0]，x2∈[1，2].則結合拋物線圖象性質可知f′(-1)≥0，f′(0)≤0，f′(1)≤0，f′(2)≥0，故2b-c-1≤0，c≤0，2b+c+1≤0，4b+c+4≥0.由此可得圖2所示的陰影部分即為點(b，c)的可行域.

第(2)問簡約而不簡單，只有通過合理的等價轉換，才能找到正確的解題途徑.

由題意可知，f′(x2)=3+6bx2+3c=0，則bx2=--c (①)，而f(x2)=+3b+3cx2 (②)，①代入②得f(x2)=

-+x2. 由第(1)問的約束條件不難得到c∈[-2，0]，又x2∈[1，2]，易得-10≤f(x2)≤- .

評析: 題目的第(1)問要求通過導函數的零點分布來確定二維參變量的線性區域;第(2)問則考查了導函數零點的函數值有界性問題，在題目設置上有一定新意，作為壓軸題，體現了高考的選拔功能.由于題中函數含多個參數，同學們在解題中很容易迷失方向，找不準問題的突破口. 大家不妨自行嘗試一下第(2)問的消參過程，你會發現消去c將比消去b煩瑣得多.

三次函數問題在近幾年的高考中非?；钴S，在2009年高考數學山東卷、天津卷、福建卷以及浙江卷的解答題甚至壓軸題中，都出現了三次函數的身影. 三次函數內容涉及高中數學中較多的知識和數學思想方法，因為三次函數的導數是二次函數，從二次函數的圖象、單調性、極值、最值出發，研究三次函數的零點個數、值域、對稱中心……