分“步”別“類”求概率

解題“牛人”許志鋒，男，中學高級教師，臺州市“教學能手”，擁有20余年高三教學經驗，參加過教育部國家級骨干教師培訓并被授予合格證書。

愛好:解數學題。曾多次參加全國數學問題有獎征答活動并獲獎。

概率問題在高考中往往會以新穎的背景呈現，所以很多同學在解題時會因為理解錯誤或算法不當出錯.其實每個題目都會講述一段“故事”，我們要先靜下心來“聆聽”，弄清事理才能就“事”論“率”.

一、分“類”計數是基本策略

例1(2009年高考數學浙江卷(理)第19題) 在1，2，3，…，9這9個自然數中任取3個數. (1) 求這3個數中恰有1個是偶數的概率;(2) 記為這3個數中兩數相鄰的組數(例如取出的數是1，2，3，則有兩組相鄰的數1，2和2，3，此時=2)，求隨機變量的分布列及數學期望.

解析: (1) 題中的基本事件是從1，2，3，…，9這9個自然數中任意取出3個數，不考慮先后順序，故總共有=84種取法. 其中“恰有1個是偶數”的取法有#8226;=40種， ∴ P==.

(2) 隨機變量表示所取3個數中兩數相鄰的組數，很明顯結果可分成=0，=1，=2這三“類”. 其中=2(即3個數是連續的)對應以下7個基本事件:{1，2，3｝，{2，3，4｝，…，{7，8，9｝，故p(=2)==. =1意味著每組數中恰有兩數相鄰，這兩個數可以是{1，2｝，{2，3｝，…，{8，9｝等8種情形. 當這兩個數確定之后，第三個數必須與這兩個數均不相鄰. 由此可見，這8種情形可以細分成兩“類”:{1，2｝，{8，9｝分別只需回避3和7，它們各對應6個基本事件;而其余6對數則是“左鄰右舍”都要回避，各對應5個基本事件. 故基本事件總數為6×2+5×6=42個，∴ p(=1)==. 根據互斥事件的概率可得p(=0)=1--=，∴ 的分布列如表1所示.

表1

∴ E=1×+2×=.

點評: 本題的新穎之處在于定義了“兩數相鄰的組數……